К вопросу: показатели формы распределения
Коэффициент асимметрии Пирсона (AsП) рассчитывается по формуле
.
(6.16)
В одновершинных распределениях величина этого показателя изменяется от -1 до +1.
В симметричных распределениях AsП = 0.
При AsП > 0 наблюдается правостороння асимметрия.
При AsП < 0 имеет место левостороння асимметрия.
Если распределение по форме близко к нормальному закону, то медиана находится между модой и средней величиной, причем, ближе к средней, чем к моде.
При правосторонней асимметрии выполняется неравенство > Ме > Мо.
При левосторонней асимметрии выполняется неравенство < Ме < Мо.
Асимметрия распределения показана на рис. 6.2.
f(x) Аs = 0
Правосторонняя Левосторонняя
Аs > 0 Аs < 0
х
Рисунок 6.2 - Асимметрия распределения
Чем ближе по модулю As к 1, тем асимметрия существеннее:
- если |As| < 0,25, то асимметрия считается незначительной;
- если 0,5 < |As| < 0,25, то асимметрия считается умеренной;
- если |As| > 0,5, то асимметрия значительна.
Коэффициент асимметрии, определяемый на основе центрального момента третьего порядка, рассчитывается по формуле
,
(6.17)
где μ3 – центральный момент третьего порядка, рассчитываемый по формуле 6.23;
σ3 – среднее квадратическое отклонение в третьей степени.
Формулы для расчета центральных моментов первого, второго, третьего и четвертого порядка по несгруппированным и сгруппированным данным, приведены в таблице 6.5.
Таблица 6.5 - Центральные моменты
Порядок момента |
Формула расчета |
|||
по несгруппированным данным |
№ формулы |
по сгруппированным данным |
№ формулы |
|
Первый (μ1) |
|
6.18 |
|
6.19 |
Второй (μ2) |
|
6.20 |
|
6.21 |
Третий (μ3) |
|
6.22 |
|
6.23 |
Четвертый (μ4) |
|
6.24 |
|
6.25 |
Для оценки существенности коэффициента асимметрии, рассчитанного на основе μ3, определяется его средняя квадратическая ошибка по формуле
,
(6.26)
где N – общий объем исследуемой совокупности.
Если
,
асимметрия является существенной.
Показатель асимметрии Пирсона зависит от степени асимметричности в средней части ряда распределения, а показатель асимметрии, основанный на μ3, - от крайних значений признака. Это объясняет случаи несовпадение знаков коэффициентов асимметрии, исчисленных разными способами.
Эксцесс распределения (Ех) рассчитывается по формуле
,
(6.27)
где μ4 - центральный момент четвертого порядка, рассчитываемый по формуле 6.25;
σ4 – среднее квадратическое отклонение в четвертой степени.
Для нормального распределения
,
а Ех = 0.
Эксцесс распределения показан на рис. 6.3.
f(x)
Eх>0
Eх =0
Eх<0
х
Рисунок 6.3 - Эксцесс распределения