- •Глава I. Математический аппарат и основные понятия электродинамики.
- •§1.1. Постулаты специальной теории относительности.
- •§1.2. Четырехмерное пространство и четырехмерная символика.
- •§1.3. Преобразование Лоренца для координат и времени.
- •§1.4. Преобразования Лоренца для скоростей и углов.
- •§1.5. Кинематические «парадоксы» сто.
- •§1.6. Ковариантные формы преобразований Лоренца.
- •§1.7. Четырехмерные векторы.
- •§1.8. Четырехмерные тензоры.
- •§1.9. Четырехмерный вектор-потенциал и тензор напряженности электромагнитного поля.
- •§1.10. Инварианты электромагнитного поля.
- •Глава II. Релятивистская механика.
- •§2.1. Четырехмерные векторы импульса и силы.
- •§2.2. Вариационный принцип Гамильтона в релятивистской механике.
- •§2.3. Вывод силы Лоренца.
- •§2.4. Релятивистские уравнения Гамильтона.
- •§2.5. Законы сохранения и свойства симметрии четырехмерного пространства.
- •§2.6. Тензор спина и малая группа Лоренца.
- •§2.7. Четырехмерный вектор спина.
- •§2.8. Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи.
- •Глава III. Полевая электродинамика.
- •§3.1. I пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
- •§3.2. Вариационный принцип Гамильтона в теории поля.
- •§3.3. II пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме для "чистого" поля.
- •§3.4. II пара уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов.
- •§3.5. I пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.6. II пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.7. Четырехмерный вектор плотности тока.
- •§3.8. Четырехмерный вектор плотности силы.
- •§3.9. Тензор плотности энергии и импульса частиц.
- •§3.10. Тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля.
- •§3.11. Закон сохранения плотности энергии-импульса в дифференциальной форме.
- •§3.12. Вектор Пойнтинга.
- •§3.13. Тензор натяжений Максвелла.
- •§3.13. Законы сохранения в дифференциальной форме как следствие однородности и изотропности пространства.
- •§3.16. Орбитальный и спиновый угловые моменты электромагнитного поля.
- •Глава IV. Теория частиц и полей.
- •§4.1. Об устойчивости статической системы электрических зарядов.
- •§4.2. Собственная масса замкнутой системы частиц и полей.
- •§4.3. Электромагнитная масса электрона.
§2.4. Релятивистские уравнения Гамильтона.
Нам уже известны нерелятивистские уравнения Гамильтона:
; .
Здесь -функция Гамильтона:
.
и - канонические переменные в Гамильтоновом формализме. Если взять производные по времени от канонических переменных, то получим нерелятивистскую скорость и нерелятивистскую, ньютоновскую силу. Покажем это.
используя тот факт, что в ньютоновской механике масса является постоянной величиной, запишем
.
Получен второй закон Ньютона.
Запишем теперь релятивистские уравнения Гамильтона:
, .
Следует отметить, что здесь и - "новые" функция Гамильтона и канонический импульс. И следует убедиться, что данные уравнения совпадают с теми, которые были определены ранее.
В нерелятивистском случае функцию Гамильтона для одной частицы можно было записать как
.
В релятивистском же приближении "новую" функцию Гамильтона следует записывать как
,
где - кинетический импульс (в отличие от обобщенного импульса ). Теперь, чтобы полученные уравнения были верными, следует потребовать, чтобы . Но тогда имеем
.
Так как переменной является обобщенный импульс, а не кинетический, произведем обратную замену. Получим окончательный вид новой функции Гамильтона:
.
Убедимся теперь, что из функции Гамильтона такого вида можно получить уже известные выражения для скорости и силы. Возьмем сначала производную по собственному времени от координаты:
.
Получили выражение для скорости. Продифференцируем теперь по собственному времени обобщенный импульс:
.
С другой стороны та же производная может быть записана как
.
Сравнив полученные результаты, можно записать следующее:
.
Это выражение есть ни что иное, как сила Лоренца.
Проверим также, что обобщенный импульс есть производная функции Лагранжа по скорости (аналогично ):
–
действительно, тот самый обобщенный импульс , который был введен ранее.
§2.5. Законы сохранения и свойства симметрии четырехмерного пространства.
Известно, что интегралы движения могут быть найдены из некоторых общефизических принципов (наряду с интуитивными способами). К примеру, в механике Ньютона закон сохранения импульса связан с однородностью пространства, а закон сохранения момента импульса – с его изотропностью.
Эти свойства имеют место и релятивистской механике, правда подразумевается, что из свойства однородности четырехмерного пространства следует закон сохранения четырехмерного импульса, а из свойства изотропности четырехмерного пространства следует закон сохранения четырехмерного тензора момента импульса .
Эти свойства можно вывести аналитически, заметив лишь, что наличие внешних полей, вообще говоря, приводит к нарушениям однородности и изотропности пространства. Однако, в некоторых направлениях или плоскостях эти свойства все же остаются неизменными. Поэтому, соответствующие проекции останутся интегралами движения.
С математической точки зрения однородность пространства означает инвариантность уравнений движения относительно параллельного переноса системы координат. Под параллельным переносом подразумевается трансляция начала координат с одновременным сохранением ориентировки осей координат в пространстве.
Запишем преобразование трансляции. Для этого рассмотрим систему, начало координат которой транслируется вдоль оси на малый отрезок (здесь ) (рис. 2.1). в новой системе координат имеем преобразование , причем справедливо
.
для четырехмерного же пространства можно записать
.
В полученном выражении представляет собой постоянный вектор, модуль которого равен переносу.
И зотропность четырехмерного пространства в свою очередь означает, что уравнения движения являются инвариантными относительно поворота осей координат. Рассмотрим преобразования поворота осей координат, для простоты формально заменив поворот осей координат поворотом самого вектора и обозначив новое положение вектора за (рис. 2.2). Причем, угол поворота вектора тот же, что и угол поворота системы . Тогда для такого преобразования можно записать:
=> .
Перейдем теперь в четырехмерное пространство:
.
С другой стороны, преобразования поворота соответствуют преобразованиям Лоренца вида
.
Положим и перепишем эти преобразования как
.
И тогда
.
Тензор - тензор второго ранга. Если преобразования поворота являются бесконечно малыми, то коэффициенты являются малыми величинами.
Можно показать, что этот тензор является антисимметричным, то есть . Для этого найдем :
.
Для того, чтобы выполнялись условия инвариантности, необходимо, чтобы второй член в полученном выражении был бы равен нулю. Это возможно лишь в том случае, если тензор антисимметричен. Можно получить более конкретный вид для :
.
Отсюда, очевидно,
.
Рассмотрим теперь общее преобразование координат как сумму трансляций и поворотов осей координат:
.
и различаются на один порядок малости, и в выражении стоит , поэтому не существенно ставить штрих при или нет, потому как это будет ошибкой уже во втором порядке малости:
.
Таким образом, преобразования поворота выглядят как . Если использовать , то получаем выражение
.
Для того, чтобы уравнения движения были инвариантными относительно этих преобразований необходимо, чтобы вариация функции Лагранжа была бы равна нулю: . Функция Лагранжа есть функция координат и скорости: . Возьмем вариацию от функции Лагранжа:
.
Вариация от скорости находится как
.
Подставив вариацию скорости в выражение для вариации функции Лагранжа и опустив простые, но длинные преобразования, запишем конечное выражение:
.
Здесь на одном из этапов был использован тот момент, что для свободной частицы справедливо
,
чем и обусловлено появление импульсов в конечном выражении.
Так как коэффициенты преобразования координат являются произвольными и отличными от нуля, необходимым является равенство нулю самих производных. соответственно
и .
То есть, получен закон сохранения импульса для свободной частицы: . С другой стороны, по определению четырехмерный вектор импульса выглядит как
,
то есть в приведенном выше выражении скрыт также закон сохранения энергии свободной частицы.
Во втором выражении под знаком производной стоит конструкция
.
Этот тензор второго ранга называется тензором момента импульса. Это антисимметричный тензор, который выглядит следующим образом:
.
Его производная, как было показано ранее, равна нулю, то есть . Для нахождения соответствующих компонент этого тензора следует воспользоваться следующей формулой, вывод которой приводиться не будет:
.
Для обратного преобразования существует формула
.
Таким образом, все пространственные входят в трехмерный вектор момента импульса :
.
В свою очередь, временные компоненты образуют волновой вектор . Очевидно, что и вектор , и вектор - величины сохраняющиеся.
В конечном счете, задача состоит в том, чтобы найти десять интегралов движения (десять сохраняющихся величин). Они соответствуют десятипараметрической группе преобразований координат, которая представляет собой группу трансляций (4 преобразования) и группу пространственно-временных поворотов (6 преобразований). Эту группу называют группой Пуанкаре.
В этой группе постоянные и являются так называемыми структурными константами группы Пуанкаре, а сами интегралы движения и называются генераторами группы Пуанкаре.
Наличие внешнего поля приводит к нарушению свойств однородности и изотропности пространства. В соответствии с этим некоторые интегралы движения перестают быть таковыми (общее число интегралов движения уменьшается). Однако, может случиться, что в некоторых направлениях однородность и/или изотропность сохранятся, а значит и соответствующие компоненты и останутся интегралами движения.
Допустим, что используемая функция Лагранжа не зависит от одной из координат. Тогда соответствующая проекция обобщенного импульса будет сохраняющейся величиной. Действительно, предположим, что функция Лагранжа не зависит от . Тогда уравнение Лагранжа примет вид
.
Иначе это можно записать как
.
То есть - -проекция обобщенного импульса – сохраняющаяся величина. Если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то сохраняться будет компонента . По определению
.
Тогда для 0-компоненты:
,
,
.
Полная энергия, которая есть сумма кинетической и потенциальной, есть величина сохраняющаяся. То есть, получен закон сохранения для энергии .
То же происходит и с моментом импульса при наличии внешнего поля. Если в некоторой плоскости изотропность пространства сохраняется, то будем иметь в качестве интеграл движения соответствующий момент импульса. Например, если электрон движется в однородном поле, направленном вдоль оси Z, то , что несложно показать.