Глава III. Полевая электродинамика.
§3.1. I пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
Исторически сложилось мнение о том, что первая пара уравнений Максвелла не является уравнениями движения поля, а есть простое следствие соотношения между потенциалами и напряженностями полей.
Первая пара уравнений Максвелла вытекает из определения тензора напряженности электромагнитного поля
.
С другой стороны ее можно вывести и через уравнение движения. Покажем, как можно вывести I пару уравнений Максвелла. Продифференцируем тензор электромагнитного поля, циклически заменяя индексы:
.
Сложим теперь полученные три соотношения:
.
Полученное выражение есть первая пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
С целью получения первого и второго
уравнения первой пары, зафиксируем
сначала индексы как
,
и
:
-
первое уравнение первой пары.
Зафиксируем теперь индексы как
,
и
:
.
Обобщив, можно записать второе уравнение первой пары:
.
Так, первая пара уравнений Максвелла имеет вид
.
§3.2. Вариационный принцип Гамильтона в теории поля.
Необходимость введения вариационного принципа в теорию поля очевидна на основании того факта, что необходимо получить уравнения движения. Для истинного движения вариация действия должна равняться нулю:
.
Далее определяется действие, находится вариация от него и приравнивается к нулю.
В теории поля мы имеем дело с полевыми величинами, которые есть функции координат и времени.
В механике частиц все определялось радиус-векторами положений частиц в определенных точках пространства. В этом случае действие имело вид
.
Можно ввести действие в теории поля, однако будет иметь место ряд отличий:
Вместо радиус-вектора
необходимо ввести полевую величину,
характеризующую электромагнитное
поле. Такой величиной является потенциал
.Вместо скорости
необходимо ввести, по аналогии, величину
.Вместо функции Лагранжа
,
теряющей свой смысл в теории поля,
необходимо ввести плотность функции
Лагранжа
,
которая, что важно, остается инвариантной
величиной.Вместо интегрирования по собственному времени необходимо ввести интегрирование по четырехмерному объему
.
Для того, чтобы сохранить размерность
действия, домножим все на размерный
инвариантный множитель
:
.
Возьмем теперь вариацию от действия полученного вида:
.
Рассмотрим второй член подкоренного выражения:
,
.
Тогда интеграл запишется как
,
г
де
- элемент гиперповерхности. Гиперповерхность
можно выбрать произвольно; выберем ее
в виде гиперцилиндра с образующей,
параллельной оси
.
По сути этот гиперцилиндр образован
двумя пространственноподобными
плоскостями, соединенными временеподобной
поверхностью. Интеграл по этой замкнутой
гиперповерхности равен нулю.
Будем считать, что исследуемые функции на этих гиперплоскостях заданы и, более того,
.
Устремим теперь "радиус" гиперцилиндра к бесконечности. Если система замкнута, то вся она должна быть сосредоточена внутри ограниченного пространства. Следовательно, на бесконечности (в трехмерном смысле) полевые функции должны обращаться в нуль. Но это означает, что подынтегральное выражение есть нуль и, значит,
.
Таким образом, в выражении для вариации действия остается один член и окончательно имеем:
.
Так как всюду
,
интеграл равен нулю только если нулю
равно выражение в фигурных скобках. Тем
самым получаем уравнение
,
которое является уравнением Эйлера-Лагранжа для поля.
Здесь стоит заметить, что плотность функции Лагранжа определена с точностью до четырехмерной дивергенции от произвольной функции координат и времени:
.
Несложно показать, что этот произвол не вносит никаких изменений в вариацию действия:
,
так как
.