- •Глава I. Математический аппарат и основные понятия электродинамики.
- •§1.1. Постулаты специальной теории относительности.
- •§1.2. Четырехмерное пространство и четырехмерная символика.
- •§1.3. Преобразование Лоренца для координат и времени.
- •§1.4. Преобразования Лоренца для скоростей и углов.
- •§1.5. Кинематические «парадоксы» сто.
- •§1.6. Ковариантные формы преобразований Лоренца.
- •§1.7. Четырехмерные векторы.
- •§1.8. Четырехмерные тензоры.
- •§1.9. Четырехмерный вектор-потенциал и тензор напряженности электромагнитного поля.
- •§1.10. Инварианты электромагнитного поля.
- •Глава II. Релятивистская механика.
- •§2.1. Четырехмерные векторы импульса и силы.
- •§2.2. Вариационный принцип Гамильтона в релятивистской механике.
- •§2.3. Вывод силы Лоренца.
- •§2.4. Релятивистские уравнения Гамильтона.
- •§2.5. Законы сохранения и свойства симметрии четырехмерного пространства.
- •§2.6. Тензор спина и малая группа Лоренца.
- •§2.7. Четырехмерный вектор спина.
- •§2.8. Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи.
- •Глава III. Полевая электродинамика.
- •§3.1. I пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
- •§3.2. Вариационный принцип Гамильтона в теории поля.
- •§3.3. II пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме для "чистого" поля.
- •§3.4. II пара уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов.
- •§3.5. I пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.6. II пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.7. Четырехмерный вектор плотности тока.
- •§3.8. Четырехмерный вектор плотности силы.
- •§3.9. Тензор плотности энергии и импульса частиц.
- •§3.10. Тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля.
- •§3.11. Закон сохранения плотности энергии-импульса в дифференциальной форме.
- •§3.12. Вектор Пойнтинга.
- •§3.13. Тензор натяжений Максвелла.
- •§3.13. Законы сохранения в дифференциальной форме как следствие однородности и изотропности пространства.
- •§3.16. Орбитальный и спиновый угловые моменты электромагнитного поля.
- •Глава IV. Теория частиц и полей.
- •§4.1. Об устойчивости статической системы электрических зарядов.
- •§4.2. Собственная масса замкнутой системы частиц и полей.
- •§4.3. Электромагнитная масса электрона.
§2.7. Четырехмерный вектор спина.
Наряду с тензором спина для описания спиновых свойств можно ввести четырехмерный вектор спина вида
.
Этот вектор, также как и тензор, должен быть пространственноподобным:
=> .
Найдем теперь инвариант этого четырехмерного вектора:
.
В системе покоя имеем
=> .
Если четырехмерный вектор и тензор спина описывают одну и ту же величину, то эти инварианты для них должны быть одинаковыми:
.
Запишем также обратное и обратное соотношение:
.
Для тензора автоматически выполняется условие пространственноподобности:
.
Подставим в определение :
.
Здесь был использован тот факт, что
.
Убедимся теперь в том, что для четырехмерного вектора и для тензора одни и те же инварианты
.
.
Справедливость этого выражения становится очевидной, если учесть что
.
Покажем, что законы сохранения четырехмерного вектора спина являются следствием инвариантности преобразования координат из малой группы Лоренца.
.
Величина характеризует повороты осей координат, которые задаются четырехмерным вектором . Так как , , а значит выражение
.
И есть закон сохранения спина. Это значит, повороты происходят в плоскости, перпендикулярной к четырехмерному вектору скорости, иначе говоря, это преобразования из малой группы Лоренца.
§2.8. Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи.
Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи – это уравнение движения спина во внешних электромагнитных полях. В некотором смысле, это аналог силы Лоренца.
Согласно гипотезе Уленбека-Гаудсмита, справедливы следующие утверждения:
Электрон имеет собственный механический момент за счет своего вращения, который равен
.
Электрон имеет собственный магнитный момент, равный магнетону Бора:
.
Векторы магнитного и механического моментов электрона пропорциональны друг другу:
.
Очевидно также, что они параллельны. Иначе последнее утверждение можно записать как
.
Следует заметить, что в этих соотношениях все величины взяты для случая покоящегося электрона.
С точки зрения современной квантовой электродинамики, значение магнитного момента все-таки немного отличается от магнетона Бора и его можно записать в виде
,
где - аномальный магнитный момент электрона, появляющийся за счет взаимодействия электрона с электрон-позитронным вакуумом. Если за обозначит фактор Ланде, который для электрона примерно равен двум, то это выражение можно записать как
.
Аномальный магнитный момент впервые был подсчитан американским физиком Швингером в ??49 году. Швингер определил значение фактора Ланде как
,
где - первая поправка. Здесь - постоянная тонкой структуры:
.
Эта малая поправка играет большую роль в динамике электрона. В этом случае аномальный момент можно записать следующим образом:
.
Если же учесть, что , то
.
Согласно экспериментальным данным, фактор Ланде для электрона равен
(современные эксперименты дают колоссальную точность – до двенадцатого знака после запятой!).
Необходимо заметить, что в этих данных добавка к магнитному моменту, хоть и малая, но все же константа .
Также, оказывается, что это утверждение справедливо лишь для слабых электромагнитных полей. Позже, в работе Бордовицына-Багрова-Чернова было показано, что магнитный момент электрона есть весьма сложная функция энергии электрона и величины магнитного поля.
Найдем теперь уравнение движения спина. Идея вывода состоит в том, что в начале определяется спина в системе покоя, а затем осуществляется ковариантный переход (или преобразования Лоренца) в лабораторную систему. Также делается предположение о том, что в системе покоя движение спина должно быть таким, чтобы оно не сопровождалось самопроизвольным выделением энергии.
Пусть .
Прецессия есть движение, при котором одна компонента углового момента есть постоянная в течение всего времени величина, а две другие компоненты зависят от времени гармоническим образом, но в среднем равны нулю:
, (рис. 2.3).
Прецессия единичного вектора описывается формулой Лармора:
, где .
Выведем формулу Лармора. Возьмем сначала (рис. 2.4). Тогда и или . Вектор связи между вращающимся вектором и углом поворота . Для получения формулы Лармора необходимо продифференцировать это выражение по времени:
.
Вернемся к описанию движения спина. Роль прецессирующего вектора в нашем случае играет вектор , а роль времени – собственное время :
– уравнение прецессии спина в системе покоя.
Частота уже известна – она совпадает с частотой обращения заряда в однородном электромагнитном поле:
– циклотронная частота.
Так как мы рассматриваем спин электрона, нам нужен знак "минус" в определении циклотронной частоты. Также следует учесть, что электрон обладает аномальным магнитным моментом. Частота с учетом фактора Ланде может быть записана следующим образом:
.
На самом деле, тот факт, что частота прецессии спина электрона совпадает с частотой обращения заряда в электромагнитном поле, является весьма примечательным. Это означает, что электрон в ходе вращения постоянно обращен одной и той же стороной, если, конечно, допустить, что возможно различить разные стороны электрона. В этом смысле его движение схоже по характеру с движение Луны вокруг Земли.
З десь стоит отметить, что в случае, если бы фактор Ланде равнялся бы в точности двум, после полного оборота, совершенного электроном в магнитном поле, его спин был бы направлен в точности так же, как и в начальный момент времени. Однако, за счет того, что фактор Ланде лишь весьма близок к двум, после полного оборота спин направлен несколько иначе, чем первоначально (рис. 2.5).
В таком случае формула Лармора запишется как
.
Разделим это выражение на :
.
Запишем то же выражение в ковариантном виде:
.
Это – ковариантная форма записи прецессии спина в системе покоя.
Соответственно, в лабораторной системе
.
Необходимо проверить, верна эта формула или нет. Известно, что
.
=> .
Действительно,
.
С этой точки зрения полученная формула верна.
С другой стороны, известно, что должен быть пространственноподобным. Несложно показать, что полученный таким образом вектор спина пространственноподобным не является, и спиновое уравнение нуждается в поправке, добавка которой удовлетворит свойствам четырехмерного вектора спина без потери ковариантности.
Баргман, Мишель и Телледи предложили поправку вида , где для выполнения второго условия необходимо определить так, чтобы второе условие выполнялось. Из условия равенства нулю производной от вышеупомянутого инварианта, для было получено значение
.
В итоге, полученное уравнение
носит название уравнения Баргмана-Мишеля-Телледи.