- •Глава I. Математический аппарат и основные понятия электродинамики.
- •§1.1. Постулаты специальной теории относительности.
- •§1.2. Четырехмерное пространство и четырехмерная символика.
- •§1.3. Преобразование Лоренца для координат и времени.
- •§1.4. Преобразования Лоренца для скоростей и углов.
- •§1.5. Кинематические «парадоксы» сто.
- •§1.6. Ковариантные формы преобразований Лоренца.
- •§1.7. Четырехмерные векторы.
- •§1.8. Четырехмерные тензоры.
- •§1.9. Четырехмерный вектор-потенциал и тензор напряженности электромагнитного поля.
- •§1.10. Инварианты электромагнитного поля.
- •Глава II. Релятивистская механика.
- •§2.1. Четырехмерные векторы импульса и силы.
- •§2.2. Вариационный принцип Гамильтона в релятивистской механике.
- •§2.3. Вывод силы Лоренца.
- •§2.4. Релятивистские уравнения Гамильтона.
- •§2.5. Законы сохранения и свойства симметрии четырехмерного пространства.
- •§2.6. Тензор спина и малая группа Лоренца.
- •§2.7. Четырехмерный вектор спина.
- •§2.8. Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи.
- •Глава III. Полевая электродинамика.
- •§3.1. I пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
- •§3.2. Вариационный принцип Гамильтона в теории поля.
- •§3.3. II пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме для "чистого" поля.
- •§3.4. II пара уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов.
- •§3.5. I пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.6. II пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.7. Четырехмерный вектор плотности тока.
- •§3.8. Четырехмерный вектор плотности силы.
- •§3.9. Тензор плотности энергии и импульса частиц.
- •§3.10. Тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля.
- •§3.11. Закон сохранения плотности энергии-импульса в дифференциальной форме.
- •§3.12. Вектор Пойнтинга.
- •§3.13. Тензор натяжений Максвелла.
- •§3.13. Законы сохранения в дифференциальной форме как следствие однородности и изотропности пространства.
- •§3.16. Орбитальный и спиновый угловые моменты электромагнитного поля.
- •Глава IV. Теория частиц и полей.
- •§4.1. Об устойчивости статической системы электрических зарядов.
- •§4.2. Собственная масса замкнутой системы частиц и полей.
- •§4.3. Электромагнитная масса электрона.
§1.10. Инварианты электромагнитного поля.
Все тензоры имеют инварианты вида:
.
Это несложно показать. Действительно:
.
В составе электромагнитного поля существуют два тензора - и . На них можно построить три инварианта:
.
По сути, первый и третий инварианты означают одно и то же, поэтому рассмотрим два первых взаимно независимых инварианта.
Для начала вычислим первый из них, опуская дословное описание суммирования по каждому из индексов и :
.
То есть, для первого инварианта можно записать:
.
Аналогично можно вычислить и второй инвариант:
.
Второй инвариант выглядит как:
.
Рассмотрим теперь следствия из факта наличия этих двух инвариантов. В частности, первый из них гласит, что:
,
что означает, что если в одной системе отсчета и равны по модулю, то и в любой другой инерциальной системе отсчета они будут равны по модулю, что соответствует случаю, когда . Если же больше (меньше) нуля, то это означает, что если в одной системе отсчета больше (меньше) , то и в любой другой инерциальной системе отсчета будет больше (меньше) . Может случиться так, что в одной из систем , то в другой инерционной системе электрическое поле может быть и не равным нулю, но оно возникнет всегда таким образом, чтобы . И, соответственно, наоборот.
Если в одной системе угол векторы и ортогональны, то , а согласно второму инварианту и . А это значит, что и в любой другой инерциальной системе вектора останутся строго ортогональными. Более того, если в некоторой системе угол между ними острый (тупой) углом, то и в любой другой системе он будет острым (тупым). (Если в одной системе , то и в любой другой будет .
Глава II. Релятивистская механика.
§2.1. Четырехмерные векторы импульса и силы.
Прежде всего следует отметить, что релятивистская механика строится на постулатах СТО. Она существенно отличается от классической, Ньютоновской механики. Значит, следует определить основные динамические переменные релятивистской механики.
В механике Ньютона все динамические переменные определены в предположении, что время абсолютно, то есть . В релятивистской механике это предположение изначально не принимается. Однако, несмотря на это, динамические переменные следует определить так, чтобы они оставались одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, все они нуждаются в переопределении. Стоит отметить, что некоторые аналогии с классической механикой сохраняются.
В Ньютоновской механике импульс определяется как . Необходимо осуществить переход от трехмерного к четырехмерному вектору импульса: .
Четырехмерный вектор импульса должен иметь вид . Обозначим , где имеет размерность энергии. Согласно Ньютону, импульс должен быть пропорционален скорости, значит для четырехмерного вектора импульса:
.
- некоторая, пока не определенная инварианта, имеющая размерность массы.
Используя определения четырехмерной скорости, можно записать:
.
Если рассмотреть трехмерную, пространственную компоненту, то:
, где - Ньютоновская скорость.
Причем , а это значит, что . Причем, в системе покоя . То есть - масса частицы в системе покоя, истинная масса частицы. Масса же есть относительная, релятивистская масса, существенно зависящая от скорости при стремлении последней к скорости света.
Обозначенная выше величина может быть определена из тех соображений, что :
.
В Ньютоновской механике нет аналогии этой величины. Перейдем к нерелятивистскому приближению , чтобы определить физический смысл :
.
Это – формула для энергии покоя, полученная Эйнштейном. Она означает, что покоящаяся частица обладает энергией, которая, например, может частично выделится в процессе распада. Разложим теперь по малым :
.
Видно, что второе слагаемое есть не что иное, как кинетическая энергия движущейся частицы. Таким образом, физический смысл состоит в том, что это кинетическая энергия частицы вместе с энергией покоя:
.
Четырехмерный вектор импульса обладает инвариантами аналогично четырехмерному вектору скорости:
.
.
Последнее соотношение между , и может быть записано как:
или .
Учитывая то, что , получаем, что из инвариантности следует энергия в виде:
.
Определим теперь четырехмерный вектор силы. У Ньютона сила есть . В релятивистской механике ему соответствует четырехмерный вектор:
.
В классической механике сила пропорциональна ускорению, значит выглядит как:
.
Очевидно, что здесь есть уже определенная выше масса покоя частицы.
Выясним теперь физический смысл нулевой компоненты четырехмерного вектора силы. Из определения видно, что:
.
С другой стороны:
.
Таким образом, можно получить выражение для :
.
(Очевидно, что производная от равна нулю.)
Введя буферную производную по , получаем:
.
Перейдя теперь к нерелятивистскому приближению , имеем:
.
Таким образом, величина имеет размерность и смысл мощности:
.
К этому соотношению можно подойти с другой стороны, используя ортогональность четырехмерных векторов скорости и ускорения: . Получаем:
=> .
То есть вектора и также ортогональны в четырехмерном пространстве. Раскроем скалярное произведение:
.
Если теперь использовать определение четырехмерной скорости, получаем:
=> => .
Оказывается, что может быть выражена через пространственные компоненты. Также важно, что при и , что означает пространственноподобность четырехмерного вектора силы. Его временная компонента обращается в нуль в системе покоя.
(Кстати, это условие выполняется для любого пространственноподобного вектора. Если вектор пространственноподобный, то есть в системе покоя, где , всюду , то для него всегда выполняется соотношение ).
С другой стороны, так как , можно записать:
=> ,
где - «обычная» Ньютоновская скорость. Несложно показать, что перейдя к нерелятивистскому приближению, мы будем иметь дело с Ньютоновской силой:
.
Известно, что есть мощность .