- •Глава I. Математический аппарат и основные понятия электродинамики.
- •§1.1. Постулаты специальной теории относительности.
- •§1.2. Четырехмерное пространство и четырехмерная символика.
- •§1.3. Преобразование Лоренца для координат и времени.
- •§1.4. Преобразования Лоренца для скоростей и углов.
- •§1.5. Кинематические «парадоксы» сто.
- •§1.6. Ковариантные формы преобразований Лоренца.
- •§1.7. Четырехмерные векторы.
- •§1.8. Четырехмерные тензоры.
- •§1.9. Четырехмерный вектор-потенциал и тензор напряженности электромагнитного поля.
- •§1.10. Инварианты электромагнитного поля.
- •Глава II. Релятивистская механика.
- •§2.1. Четырехмерные векторы импульса и силы.
- •§2.2. Вариационный принцип Гамильтона в релятивистской механике.
- •§2.3. Вывод силы Лоренца.
- •§2.4. Релятивистские уравнения Гамильтона.
- •§2.5. Законы сохранения и свойства симметрии четырехмерного пространства.
- •§2.6. Тензор спина и малая группа Лоренца.
- •§2.7. Четырехмерный вектор спина.
- •§2.8. Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи.
- •Глава III. Полевая электродинамика.
- •§3.1. I пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
- •§3.2. Вариационный принцип Гамильтона в теории поля.
- •§3.3. II пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме для "чистого" поля.
- •§3.4. II пара уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов.
- •§3.5. I пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.6. II пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.7. Четырехмерный вектор плотности тока.
- •§3.8. Четырехмерный вектор плотности силы.
- •§3.9. Тензор плотности энергии и импульса частиц.
- •§3.10. Тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля.
- •§3.11. Закон сохранения плотности энергии-импульса в дифференциальной форме.
- •§3.12. Вектор Пойнтинга.
- •§3.13. Тензор натяжений Максвелла.
- •§3.13. Законы сохранения в дифференциальной форме как следствие однородности и изотропности пространства.
- •§3.16. Орбитальный и спиновый угловые моменты электромагнитного поля.
- •Глава IV. Теория частиц и полей.
- •§4.1. Об устойчивости статической системы электрических зарядов.
- •§4.2. Собственная масса замкнутой системы частиц и полей.
- •§4.3. Электромагнитная масса электрона.
§1.8. Четырехмерные тензоры.
Все физические величины есть тензоры различных рангов (нулевого, первого, второго и т. д.)
Тензором ранга нуль является такая величина, которая при переходе от одной инерционной системы в другую не претерпевает никаких преобразований (любые константы и инварианты есть тензоры нулевого ранга, например, скорость света).
Тензорами первого ранга являются четырехмерные вектора:
, где - тензор I ранга.
Примеры тензоров первого ранга - , , .
Тензором второго ранга называется совокупность 16 величин, которые при переходе от одной инерционной системы к другой преобразуются по закону:
.
Запишем тензор в общем виде:
.
Тензором ранга назовем совокупность чисел, преобразующихся по закону:
.
В дальнейшем будем называть тензором любой тензор II ранга, оговаривая особо случаи, когда используются тензоры более высоких рангов. Это обусловлено тем, что тензоры II ранга наиболее употребимы в курсе электродинамики. Итак будем рассматривать тензора II ранга.
Все тензоры делятся на симметричные и несимметричные:
- симметричный тензор
- антисимметричный тензор
Оказывается, что любой тензор можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Запишем произвольный тензор в виде:
.
Здесь, очевидно, первая скобка представляет собой симметричный тензор, а вторая – антисимметричный. Тогда это можно переписать как:
.
В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с антисимметричными тензорами. Нетрудно заметить, что у антисимметричного тензора все диагональные элементы есть нули, так как для любого из них справедливо , а следовательно, любой . Таким образом, произвольный антисимметричный тензор имеет вид:
.
Еще одним замечательным свойством тензоров такого рода является то, что если взять скалярное произведение (свертку) антисимметричного тензора с двумя одинаковыми векторами, то оно будет равно нулю: .
Покажем это:
.
Рассмотрим теперь преобразования Лоренца для конкретных компонент антисимметричного тензора. Рассмотрим для примеру компоненту , :
.
Говоря о последнем выражении, стоит вспомнить, что согласно вышеупомянутой метрике , при поднятии или опускании индексов знак не меняется, и лишь при поднятии или опускании «нулевого» индекса знак меняется на противоположный.
Далее несложно найти преобразования для всех остальных компонент. Например, легко показать, что .
Тензоры, аналогично векторам, могут быть простраственноподобными и времяподобными. Соответственно, простраственноподобные тензоры есть такие тензоры, у которых компоненты с чисто пространственными индексами не равны нулю. Времяподобными тензорами являются тензоры, у которых не равны нулю компоненты, содержащие «нулевые» индексы.
§1.9. Четырехмерный вектор-потенциал и тензор напряженности электромагнитного поля.
Если в определении произвольного четырехмерного вектора за нулевую компоненту принять скалярный потенциал , а за векторную компоненту - трехмерный вектор-потенциал, то мы получим определение четырехмерного вектора-потенциала . С помощью этого вектора можно определить тензор напряженностей электромагнитного поля:
.
Из самого определения этого тензора следует, что он антисимметричен. антисимметричные тензоры и их основные свойства были достаточно подробно обсуждены выше. К примеру, мы можем беспрепятственно записать преобразования Лоренца для тензора напряженности, что, собственно, и будет проделано позднее.
Сейчас следует записать компоненты тензора . Так как тензор антисимметричен, то сразу можно сказать, что и . Таким образом, запишем:
.
Здесь - напряженность электрического поля, а - напряженность магнитного поля. Видно, что тензор состоит из шести взаимно независимых компонент и символически можно записать его как .
Оказывается, что все компоненты тензора можно вывести напрямую из его определения, и в результате получим:
Покажем это на примере компоненты , :
.
Фактически, эта запись означает, что:
- -компонента .
Из определения: . Тогда в общем случае это запишется как:
.
Аналогично можно показать, что формула для также напрямую следует из определения :
.
Откуда очевидно:
.
Тогда в общем случае справедливо записать:
.
Таким образом, было показано, что формулы для компонент тензора , выведенные выше, справедливы и следуют напрямую из определения этого тензора.
Также вызывают интерес формулы, сопоставляющие четырехмерные и трехмерные векторы. На самом деле несложно показать, что между ними существует однозначное соответствие:
,
где - символ Леви-Чивита, принимающий значения 0, +1 и –1 в зависимости от значений индексов , и .
Для примера найдем -компоненту вектора напряженности магнитного поля :
.
Обратная формула имеет вид
.
Покажем теперь с ее помощью, что :
.
Иногда в электродинамике используется другой тензор электромагнитного поля, называемый дуальным к основному тензору или дуальным тензором. Дуальный тензор связан с основным следующим соотношением:
.
- тот же символ Леви-Чивита, но в четырехмерном пространстве.
Исходя из определения, дуальный тензор имеет вид:
.
Покажем, что дуальный тензор выглядит именно так. Проверим, например, что для дуального тензора :
.
Значит, согласно определению, дуальный тензор выглядит именно таким образом.
Теперь стоит перейти к нахождению преобразований Лоренца для компонент тензора . Собственно, эти преобразования находятся по аналогии с произвольным тензором простой заменой . К примеру, покажем, как выглядят преобразования Лоренца для -компоненты :
=> .
Для -компоненты:
=> .
Очевидно, что -компонента тензора не изменяется:
=> .
Таким образом, преобразования Лоренца выглядят как:
.
Аналогично можно записать преобразования Лоренца для компонент, содержащих нуль-индексы. В результате получим:
.
Также эти формулы можно получить в общем, векторном виде. Например, если перейти к нерелятивистскому приближению, то есть к случаю, когда и , и пренебречь , то можно записать эти формулы в трехмерном векторном виде.
и .
Тогда выражения для и выглядят:
Рассмотрим теперь следствия из преобразований Лоренца для напряженностей полей. Оказывается, это очень полезный инструмент для вычисления разного рода физических обстоятельств.
Так, с помощью преобразований Лоренца можно показать, что линии напряженности магнитного поля бесконечно длинного прямого проводника с постоянным током есть концентрические кольца. С одной стороны, это уже показано в курсе общей физики как формально, так и эмпирически, однако в данном случае можно подойти к этому выводу через преобразования Лоренца для магнитного поля (рис. 1.22).
Будем рассматривать ток как движение положительно заряженных частиц. Пусть заряд покоится в системе . Тогда очевидно:
=>
согласно формулам преобразования Лоренца. Следовательно, в лабораторной системе поля связаны как: .
Вектор направлен по радиус-вектору , а это значит, что направление вектора , являющегося векторным произведением на , будет всюду перпендикулярным к , а следовательно, и к радиус-вектору. Такому условию удовлетворяет только один тип кривых – окружности. Линии напряженности магнитного поля в рассмотренном примере есть окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной направлению протекания тока. Более того, стоит отметить, что густота линий напряженности тем больше, чем ближе они к проводнику.
В качестве другого примера применения преобразований Лоренца можно привести так называемый униполярный генератор тока. (Такое его название есть следствие того, что изначально полагали, что это генератор якобы с одним полюсом).
Р ассмотрим принцип работы элементарного униполярного генератора на примере прямоугольного магнита, который может двигаться по ползунковым проводящим «рельсам» (рис. 1.23). Магнитное поле этого магнита пусть будет направлено вдоль оси . Во время движения магнита между рельсами возникнет поле , и, если подключить к ним, скажем, гальванометр или амперметр, они покажут наличие электрического тока. Чтобы вычислить это поле. Достаточно только учесть, что , а . Тогда , и поле находится как:
.
П о сути, появление тока обусловлено напряженностью .
Примером униполярного генератора может служить массивный цилиндрический магнит, вращающийся вокруг своей оси с достаточно большой частотой. В такой системе напряженность направлена к оси вращения и возникает между осью и внешней поверхностью. Так что, если подключить через скользящие контакты к внешней стороне магнита и оси гальванометр, то он покажет наличие тока.
Для того чтобы обладать достаточной мощностью генераторы такого типа должны иметь большие размеры и вращаться с большими частотами. Так, например, униполярный генератор в Канберре, Австралия, имеющий ЭДС , состоит из магнита весом 20 тонн и компенсирующего маховика того же веса, вращающегося в обратную сторону. частота вращения магнита составляет порядка 900 оборотов в минуту.