- •Глава I. Математический аппарат и основные понятия электродинамики.
- •§1.1. Постулаты специальной теории относительности.
- •§1.2. Четырехмерное пространство и четырехмерная символика.
- •§1.3. Преобразование Лоренца для координат и времени.
- •§1.4. Преобразования Лоренца для скоростей и углов.
- •§1.5. Кинематические «парадоксы» сто.
- •§1.6. Ковариантные формы преобразований Лоренца.
- •§1.7. Четырехмерные векторы.
- •§1.8. Четырехмерные тензоры.
- •§1.9. Четырехмерный вектор-потенциал и тензор напряженности электромагнитного поля.
- •§1.10. Инварианты электромагнитного поля.
- •Глава II. Релятивистская механика.
- •§2.1. Четырехмерные векторы импульса и силы.
- •§2.2. Вариационный принцип Гамильтона в релятивистской механике.
- •§2.3. Вывод силы Лоренца.
- •§2.4. Релятивистские уравнения Гамильтона.
- •§2.5. Законы сохранения и свойства симметрии четырехмерного пространства.
- •§2.6. Тензор спина и малая группа Лоренца.
- •§2.7. Четырехмерный вектор спина.
- •§2.8. Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи.
- •Глава III. Полевая электродинамика.
- •§3.1. I пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
- •§3.2. Вариационный принцип Гамильтона в теории поля.
- •§3.3. II пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме для "чистого" поля.
- •§3.4. II пара уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов.
- •§3.5. I пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.6. II пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.7. Четырехмерный вектор плотности тока.
- •§3.8. Четырехмерный вектор плотности силы.
- •§3.9. Тензор плотности энергии и импульса частиц.
- •§3.10. Тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля.
- •§3.11. Закон сохранения плотности энергии-импульса в дифференциальной форме.
- •§3.12. Вектор Пойнтинга.
- •§3.13. Тензор натяжений Максвелла.
- •§3.13. Законы сохранения в дифференциальной форме как следствие однородности и изотропности пространства.
- •§3.16. Орбитальный и спиновый угловые моменты электромагнитного поля.
- •Глава IV. Теория частиц и полей.
- •§4.1. Об устойчивости статической системы электрических зарядов.
- •§4.2. Собственная масса замкнутой системы частиц и полей.
- •§4.3. Электромагнитная масса электрона.
§1.2. Четырехмерное пространство и четырехмерная символика.
Так как время в СТО не является абсолютным, его можно рассматривать наравне с тремя координатами пространства как четвертую координату – координату времени. Такое пространство будем считать однородным и изотропным всюду, а все четыре оси – взаимно ортогональными. Как и оговаривалось ранее, будем называть такое пространство пространством Минковского. Координаты некоторой точки в таком пространстве образуют совокупность четырех величин:
, .
Определенная таким образом точка в четырехмерном пространстве точка называется мировой точкой. Если эта точка движется, то ее траектория называется мировой линией. Расстояние между двумя мировыми точками называется интервалом и определяется по формуле:
.
Под следует понимать расстояние, которое было определено ранее для простого трехмерного пространства.
Следует отметить, что интервал инвариантен. Иначе говоря, если есть интервал в одной инерциальной системе координат, а - в другой, то справедливо:
.
Из этого свойства интервала можно определить коэффициент в его определении. Запишем равенство интервалов:
.
Если время абсолютно, то при равенстве следовало бы, что , что и имело место в механике Ньютона.
П усть теперь , а следовательно и . Инерциальные системы остаются таковыми, если они движутся относительно друг друга с постоянной скоростью. Рассмотрим две системы: и , движущуюся относительно с постоянной скоростью (рис. 1.8). В обеих системах координат скорость распространения света одинакова согласно первому постулату Эйнштейна - . Тогда можно записать:
.
Составим теперь квадрат интервала в четырехмерном пространстве:
=>
т.к. , то , => (знак «+» взят для определенности).
Если теперь рассматривать радиус-вектор частицы в пространстве Миньковского, то его модуль можно записать как и следовательно . Таким образом .
В данном рассмотрении четвертая координата является мнимой, однако спустя некоторое время временнýю координату стали считать действительной. Для этого введем два типа четырехмерных векторов – контравариантные и ковариантные. Компоненты контравариантного вектора будут задаваться как , а ковариантного, соответственно, как . Тогда правило будет выполняться.
Позднее более широкую популярность приобрела другая система обозначений. Контравариантные вектора стали обозначать через , а ковариантные - . Для такой записи также легко убедиться, что:
– это тот же результат, что и с мнимой единицей. Однако в такой форме обозначений время является уже действительной координатой.
Далее для удобства будем считать, что все греческие символы пробегают значения от 0 до 3 - , а латинские – от 1 до 3 - .
В различных формулах электродинамики встречаются то верхние, то нижние индексы. Операция поднятия и опускания индексов производится посредством соответствующих метрических коэффициентов или метрики:
.
Конкретные коэффициенты принимают значения 0 или 1. Матрица имеет вид:
.
При этом будем считать, что при поднятии или опускании индекса 0 (1 раз!) знак меняется на противоположный, а когда мы поднимаем или опускаем индексы (1..3) ничего не меняется. Таким образом, получаем:
; .
Символ уже использовался при описании трехмерного пространства: – это -символ Кронекера.
Иногда в литературе используется другая метрика с сигнатурой –2, то есть сумма ее диагональных элементов равняется –2, а сама она имеет вид:
.
Впредь мы будем использовать исключительно метрику с сигнатурой +2: .
Понятие светового конуса.
Для изучения процессов в четырехмерном пространстве следует определить те области, в которых они могут реально происходить.
Рассмотрим физические процессы, связанные с распространением луча света. Если источник света находится в начале координат, то распространение луча света из начала координат описывается уравнением:
.
С математической точки зрения это есть уравнение конуса в четырехмерном пространстве, вершина которого лежит в начале координат. Рассмотрим сечение четырехмерного пространства:
.
Так как речь идет о распространении света, такой конус называют световым конусом (рис. 1.9). Образующая конуса – есть траектория луча света или его мировая линия в четырехмерном пространстве.
Рассмотрим движение частицы в четырехмерном пространстве. Если частица движется равномерно и прямолинейно и при проходит через начало координат, то при движении вдоль оси Х в трехмерном пространстве ее мировая линия в четырехмерном пространстве есть следующая величина:
; .
Домножим и поделим на :
.
Введем обозначение и получим в итоге:
- уравнение прямой.
Следует отметить, что коэффициент всегда меньше единицы (за счет того, что ). Таким образом, угол наклона прямолинейной траектории равномерного движения в сечении четырехмерного пространства всегда лежит в пределах (рис. 1.10).
Если частица покоится, то ее мировая линия совпадает с осью .
Если частица движется неравномерно, то ее мировая линия есть кривая в четырехмерном пространстве.
Скорость частицы всегда меньше скорости света, что означает:
; .
Отсюда следует, что любая мировая линия, описывающая любой реальный процесс, лежит только внутри светового конуса (рис. 1.11). Вне светового конуса никакие процессы с реальными частицами невозможны.
Наконец, с течением времени частица может только удаляться от поверхности светового конуса:
- область абсолютного будущего;
- область абсолютного прошлого.
Световой конус – это геометрическое место точек, которые соответствуют мировой линии в четырехмерном пространстве (рис. 1.12).
То есть, это – скорость движения относительно оси . При :
.
(отношение всегда меньше 1)