Закон Джоуля-Ленца

Робота сил електричного поля, за законом збереження енергії, повинна перетворюватися в інші форми в еквівалентній кількості.  Якщо провідник нерухомий і в ньому не відбувається хімічні перетворення, то робота сил поля перетворюється на внутрішню енергію провідника, і в результаті провідник нагрівається. Причини нагрівання просто зрозуміти з елементарних уявлень про механізм провідності: енергія, набута електронами при їх прискоренні електричним полем, передається кристалічній ґратці при зіткненнях.  

На основі закону збереження енергії можна записати, що кількість теплоти, яка виділяється в провіднику за час dt дорівнює

(15.44)

де . Цей закон носить назву закону Джоуля-Ленца. За законом Ома для однорідної ділянки кола   ,  отже можна записати

(15.45)

За скінчений проміжок часу в нерухомому провіднику  виділяється кількість теплоти

(15.46)

Якщо струм (і напруга) не змінюються з часом, то

(15.47)

Виділимо  в провідному середовищі в околі певної точки маленький об’єм у вигляді циліндра, вісь якого паралельна до вектора     в даному місці. Якщо площа основи циліндра дорівнює ,  а висота   , то за час   у даному об’ємі циліндра виділиться кількість теплоти

де dV = dS dl  об’єм виділеного циліндра,    питомий опір речовини. Поділивши останній вираз на dVdt, одержимо кількість теплоти, що виділяється за одиницю часу в одиничному об’ємі, яку називають питомою тепловою потужністю струму:

(15.48)

Цей вираз є законом Джоуля-Ленца в локальній (диференціальній) формі.

Формула (15.45) є найбільш загальною формою закону Джоуля-Ленца, яку можна застосовувати для будь-яких провідників незалежно від їх форми, однорідності та природи сил, що зумовлюють електричний струм. У випадку, коли на носії струму діють тільки сили електричного поля, цей закон, з урахуванням диференціальної форми закону Ома, можна представити у вигляді:

(15.49)

6. Квазістаціонарні струми

Закони постійного струму можна застосовувати і для розрахунків електричних кіл, сила струму в яких змінюється з часом, якщо ці зміни відбуваються не дуже швидко. Це означає, що відносні зміни струмів і електрорушійних сил протягом часу встановлення електричної рівноваги в колі мають бути настільки малими, щоб миттєве значення сили струму було однаковим в усіх поперечних перерізах провідників схеми. Такі струми називають квізістаціонарними (від лат. quasi  ніби, подібно та stationarius постійний) або інакше, повільнозмінюваними. Швидкість установлення електричної рівноваги в колі дуже велика, наприклад, змінні струми частотою 50 Гц є квазістаціонарними.

Застосування законів постійного струму для розрахунку схем казістаціонарних струмів дає змогу встановити співвідношення між миттєвими значеннями електричних величин у вигляді диференціальних рівнянь. Залежність змінних електричних величин від часу отримують як розв'язки цих диференціальних рівнянь за відповідних початкових умов.

В якості прикладу квазістаціонарних струмів розглянемо перехідні процеси в колі з конденсатором та резистором.

1) Зарядження конденсатора. Конденсатор ємністю С приєднують до джерела ЕРС через опір R, замикаючи ключ К (рис. 15.19а). Поки ключ був розімкненим конденсатор незаряджений, а після замикання ключа в колі проходить струм I і конденсатор заряджається. За другим правилом Кірхгофа , де    напруга на конденсаторі,    миттєве значення сили струму. Таким чином, маємо:

або після розділення змінних

Інтегрування цього рівняння (ліву частину від 0 до q,  праву  від 0 до t) дає залежність заряду конденсатора від часу.

(15.50)

Зміна заряду  q  у часі визначає силу струму в колі, тобто

(15.51)

Величина  називається часом релаксації. Він дорівнює проміжкові часу, протягом якого сила струму в колі (заряд і напруга на конденсаторі) змінюються в е  2,72 рази.

2) Розрядження конденсатора. В цьому випадку попередньо заряджений конденсатор замикається на резистор (рис. 15.19б) і в колі починає текти розрядний струм. У будь-який момент часу спад напруги на опорі дорівнює нарузі на конденсаторі:   . Урахувавши, що напруга на конденсаторі   ,  а миттєве значення сили струму визначається зменшенням заряду конденсатора   ,  одержимо

Після розділення змінних, маємо

Інтегрування цього рівняння дає залежність заряду конденсатора від часу

(15.52)

де      заряд конденсатора при t = 0.

Похідна по часу від останнього  виразу  дає силу струму в колі:

(15.53)

Якщо конденсатор був попередньо заряджений від джерела з ЕРС   ,  то його початковий заряд   ,  і тоді

(15.53а)

Графіки залежностей від часу заряду конденсатора при його зарядці та розрядці показані на рис. 15.20,  де      максимальний заряд конденсатора.