10. Статистичні гіпотези: нульова і альтернативна.

Статистичною гіпотезою називається будь-яке припущення щодо виду або параметрів невідомого закону розподілу. У конкретній ситуації статистичну гіпотезуформулюють як припущення на певному рівні статистичної значущості про властивості генеральної сукупності за оцінками вибірки.

Статистичну гіпотезу прийнято позначати літерою Н: (Hypothesis). Сформульована гіпотеза "Н: а²=0,5" може читатися так: "висунута статистична гіпотеза про те, що невідома дисперсія а² не відрізняється від значення 0,5". Гіпотетичне твердження є або справедливим (істинним), або помилковим (хибним), що потребує його перевірки.

Розрізняють прості і складні статистичні гіпотези. Проста гіпотеза повністю визначає теоретичну функцію розподілу випадкової величини. Наприклад, гіпотеза " Н: закон розподілу випадкової величини є нормальним з параметрами /г=0 і ег=1" є простою, а гіпотеза " Н: закон розподілу випадкової величини не є нормальним" - складною.

Статистичні гіпотези підрозділяються на нульові й альтернативні.

Нульова гіпотеза позначається як H₀. Це гіпотеза про відсутність відмінностей у значеннях ознак. Наприклад, гіпотеза "H₀ : fi₁ - fi₂ = 0" читається так: "висунута нульова гіпотеза про відсутність значущої різниці між середніми fi₁ і fi₂". Як правило, нульова гіпотеза - це те, що ми хочемо спростувати, якщо перед нами стоїть завдання довести значущість відмінностей.

Альтернативна гіпотеза є логічним запереченням нульової гіпотези і позначається як H₁. Природно, що це гіпотеза про існування відмінностей. Наприклад, гіпотеза "H₁: fi₁ - fi₂ Ф 0" читається так: "висунута альтернативна гіпотеза про наявність значущої різниці між середніми fi₁ і /г₂". Найчастіше альтернативна гіпотеза - це те, що ми хочемо довести. Проте існують завдання, коли бажано підтвердити нульову гіпотезу і переконатися, наприклад, що вибірки не розрізняються між собою за якимись показниками. Нульову й альтернативну гіпотези прийнято представляти у парі:

но: ці - Ц2 = 0; ні: ці - Ц2 Ф 0.

Статистичні висновки робляться на підставі прийняття однієї гіпотези і відхилення іншої. Рішення приймається з певною достовірністю.

10. Довірчі інтервали і їх зміст.

Доверительный интервал

– предельные значения статистической величины, которая с заданной доверительной вероятностью γ будет находится в этом интервале при выборке большего объема. Обозначается как P(θ - ε < x < θ + ε) = γ

Мерой доверия оценке θ считается вероятность γ того, что погрешность оценки |θ - x| не превысит заданной точности ε:

На практике выбирают доверительную вероятность γ из достаточно близких к единице значений γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

Классификация доверительных интервалов

По виду оцениваемого параметра:

1. Доверительный интервал для генерального среднего (математического ожидания);

2. Доверительный интервал для дисперсии;

(D - t; D + t)

3. Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения;

4. Доверительный интервал для генеральной доли;

По типу выборки:

1. Доверительный интервал для бесконечной выборки;

2. Доверительный интервал для конечной выборки;

12.Дисперсія. Її зміст і значення.

Дисперсією s² статистичного ряду називають середню арифметичну квадратів відхилень варіант від їх середньої арифметичної.

          (1.2)

Враховуючи що  , формулу (1) можна переписати у вигляді

Дисперсію s² часто називають вибірковою (або емпіричною), на відміну від σ² – генеральної дисперсії.

Бажано у якості міри варіації мати характеристику, яка була б виражена у тих самих одиницях, що й значення ознаки. Такою характеристикою є середнє квадратичне відхилення s – арифметичне значення кореня квадратного з дисперсії.

 

Можна також розглянути характеристику, яка не має розмірності – коефіцієнт варіації, який дорівнює відсотковому відношенню середньої квадратичної відхилення до середньої арифметичної.

Якщо значення коефіцієнту варіації досить великі (наприклад, більші 100%), то це свідчить про неоднорідність значень ознаки.

Властивості дисперсії (вони аналогічні до властивостей дисперсії випадкової величини).

1. Дисперсія постійної дорівнює нулю.

2. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) у k разів, то дисперсія збільшиться (зменшиться) у k² разів. ( )

3. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одне і те саме число, то дисперсія не зміниться.

4. Дисперсія дорівнює різниці між середньою арифметичною квадратів варіантів та квадратом середньої арифметичної.

де

5.       Якщо ряд складається з декількох груп спостережень, то загальна дисперсія дорівнює сумі середньої арифметичної групових дисперсій та дисперсії між групами.

          (2)

де s² – загальна дисперсія (тобто дисперсія всього ряду);

- середня арифметична групових дисперсій

- дисперсія між групами.

Формула (2) має дуже важливе значення у статистичному аналізі.