Кінематика поступального та обертального руху план

1. Основні означення і моделі кінематики.

2. Рівняння руху матеріальної точки.

3. Швидкість руху точки.

4. Прискорення як міра зміни руху.

5. Тангенційне і нормальне прискорення .

6. Кінематика обертального руху.

1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ І МОДЕЛІ КІНЕМАТИКИ. Кінематика – це розділ фізики, в якому вивчаються закономірності механічного руху не вникаючи в причини, які його викликають. Для неї важливим є поняття про проміжок часу, його початок та довільний момент, безвідносно до сил, які його зумовлюють. Кінематика вивчає просторові, часові та просторово–часові кінематичні характеристики руху. Тому кінематика – це розділ фізики, в якому досліджуються геометричні властивості руху.

Для дослідження використовують різні фізичні моделі, що є спрощеними копіями досліджуваних систем. Такими є, наприклад, в механіці матеріальна точка (м.т.), система матеріальних точок, абсолютно тверде тіло, тощо .

Матеріальною точкою називається геометрична точка, якій приписана певна маса. Це поняття використовують для позначення тіла, розмірами якого за визначених обставин руху можна знехтувати.

Системою матеріальних точок називається така сукупність м.т., положення і рухи яких взаємопов’язані між собою. Окремим їх випадком є абсолютно тверде тіло.

Абсолютно твердим називається тіло, яке складається з системи м.т., що жорстко зв’язані між собою і неперервно заповнюють певну частину простору так, що відстань між будь-якими двома його точками залишається незмінною. При поступальному русі абсолютно твердого тіла всі його точки описують однакові траєкторії, а вектори їх швидкостей і прискорень рівні між собою в кожний момент чи в певному проміжку часу.

Під проміжком часу розуміють перебіг часу між двома фізичними подіями. Моментом часу називають границю між двома суміжними проміжками часу. Його початок – це момент, з якого починається відлік часу

В класичній механіці постулюється наявність системи відліку , відносно якої простір однорідний і ізотропний. Однорідним є також і час, що плине рівномірно і не залежать від фізичних процесів, які протікають у розглядуваній ділянці простору.

Довжина траєкторії, яку описує м.т. під час свого руху, називається шляхом. Шлях - це величина скалярна. Вектор , що сполучає початкове і кінцеве положення точки, називається вектором переміщення. Він з'єднує попереднє і наступне положення точки на траєкторії. Його легко зв'язати із зміною координат точки з час переміщення, як : .

Описати рух тіла означає, що кожному моменту необхідно співставити значення координат усіх її частин відносно вибраної системи відліку. Найменша кількість параметрів, які повністю визначають положення тіла в просторі, називають кількістю ступенів вільності. Наприклад, положення м.т. в певний момент визначають значення трьох координат , тому вона має три ступені вільності. Як переконаємось у подальшому, саме від цих координат залежить потенціальна енергія одного тіла в полі гравітаційних сил інших. Якщо

фізичне тіло має вигляд жорсткої гантелі, то ступенів вільності є п’ять: із них 3 – поступального і 2 – обертового рухів, оскільки обертання навколо власної осі симетрії положення у просторі не змінює.

2. РІВНЯННЯ РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ. Основним завданням кінематики є встановити закон руху. У заданій системи відліку він вважається відомим, якщо встановлено, за допомогою якого способу можна визначити положення, швидкість та прискорення м.т. чи тіла в довільний момент.

В кінематиці положення м.т. може визначатися: радіус-вектором (векторний спосіб); шляховою координатою (природний спосіб); координатами (координатний спосіб). Тому, математичний опис руху точки задається координатним, векторним чи натуральним рівняннями

Всі ці рівняння ще називаються параметричними, так як у них параметром є час . Якщо з рівнянь виключити параметр , то одержимо рівняння траєкторії руху, яку описує кінець радіус-вектора.

3. ШВИДКІСТЬ РУХУ ТОЧКИ. Швидкість - це просторово–часова міра руху, яка характеризує зміну положення точки в цю мить у цій системі відліку. При рівномірному та прямолінійному переміщенні точки відношення пройденого шляху до відповідного проміжку часу

відображає середню шляхову швидкість. Вважаємо, що часовий інтервал завжди додатний, тому має той самий знак, що й . Дійсно, точка може рухатись у бік як зростання, так і зменшення координати. У першому видаку , тоді як у другому . При рівномірному русі швидкість визначається як векторним , так і природним способами, – одиничний вектор дотичної до траєкторії руху в заданій точці, за допомогою якого задається напрям вектора швидкості.

Під час криволінійного руху модуль вектора переміщення = , але якщо значення цих величин малі, то різниця між ними незначн. Тому, для нерівномірного руху вектор відношення

=

можна розглядати як такий, величина і напрям якого характеризують швидкість руху уявлювальної точки, що рухається рівномірно по хорді (рис.). Тому вектор (2.3.2) розглядають як вектор середньої швидкості нерівномірного криволінійного руху.

З а вектор середньої швидкість нерівномірного криволінійного руху можна прийняти вектор швидкість такого рівномірного прямолінійного руху, в якому точка пройшла б це переміщення за такий самий проміжок часу, що і під час нерівномірного криволінійного руху.

Середня швидкість є функцією інтервалу часу і для кожного його значення вона взагалі різна. Тому, щоб детальніше визначити характер руху, доцільно перейти у формулі до границі при :

. - Ця швидкість називається миттєвою і виражає характер руху в конкретний момент. Миттєва швидкість – це межа, до якої прямує середня швидкість при нерівномірному русі , коли проміжок часу . Вона характеризує не лише швидкість руху вздовж траєкторії, але і її напрям у вибраній системі координат.

.

Знання швидкості дозволяє вирішити зворотну задачу кінематики, коли треба знайти шлях. Це можна зробити шляхом інтегрування виразу за часом як .

У прямокутній декартовій системі координат із ортами вектор виражається через проекції :

.

Тоді згідно із теоремою Піфагора .