4. Прискорення як міра зміни руху. Просторово-часовою характеристикою зміни швидкості руху є прискорення. В інерційній системі відліку вектором миттєвого прискорення є перша похідна .

Вектор прискорення у довільний момент

, або, прийнявши до уваги вираз ,

= .

Отже, вектор прискорення точки дорівнює першій похідній від вектора швидкості за часом або другій похідній від радіус-вектора переміщення точки в визначений момент. Якщо рівняння руху задані у координатній формі, то вектор можна виразити через значення декартових координат як

,

а його модуль .

Однак, якщо ж рівняння руху задати натуральним способом, то повне прискорення точки складатиметься з двох прискорень: тангенційного або дотичного та нормального або доцетрового . Розглянемо це детальніше.

5 . Тангенційне і нормальне прискорення . Під час змінного руху точки вздовж криволінійної траєкторії вектор її швидкості змінюється за модулем і за напрямом в просторі.

, .

Ця формула виражає розклад вектора повного прискорення за складовими , як проекції на дотичну , і , як проекцію на нормаль до неї (рис.), де вектори і взаємно перпендикулярні між собою. Тоді згідно із теоремою Піфагора одержуємо, що

.

Отже, якщо тангенційне прискорення характеризує зміну за одиницю часу модуля вектора швидкості вздовж траєкторії руху, то нормальне - зміну за одиницю часу вектора швидкості за напрямком у просторі. Наприклад, під час рівномірного обертання точки по колу =0, а , тоді як у випадку прямолінійного змінного руху , а .

6. Кінематика обертального руху. При обертовому русі тіла всі його точки описують кола в площині, що перпендикулярна до осі обертання з центром на цій осі.

П оложення тіла, що обертається наколо нерухомої осі (рис.), описується кутом повороту . Відповідно до правогвинтової системи декартових осей кут повороту вважається додатним, якщо він відлічений проти ходу стрілки годинника, коли дивитися з боку додатнього напряму осі . Напрям обертання тіла вважається додатним, якщо кут повороту зростає, і від’ємним , коли цей кут зменшується. Кожному моменту відповідає цілком певне значення кута повороту

= .

Ц я залежність називається рівнянням обертального руху тіла навколо нерухомої осі. Якщо функція відома, то кажуть, що відомий закон обертання абсолютно твердого тіла. За аналогією з поступальним рухом побудуємо відповідні кінематичні характеристики і кінематичні рівняння обертального руху. Куту повороту умовно приписують вектрний характер , напрям якого спрямований вздовж ос обертання (рис.). На відміну від вектора швидкості чи прискорення, він не має точки прикладання, тому відноситься цей вектор до так званих псевдовекторів або аксіальних чи осьових. Наголосимо, що для таких векторів напрям у просторі приписується умовно і на їх орієнтацію впливає характер вибору системи координат правогвинтової чи лівогвинтової .

, - відношення є кінематичною характеристикою обертального руху і називається кутовою швидкістю.

Якщо вона стала , то такий обертальний рух рівномірний. У фізиці прийнято кути вимірювати в радіанах, тому одиницею кутової швидкості є радіан за секунду .

Нерівномірне обертання характеризують середньою кутовою швидкістю

,

як відношення приросту кута повороту до відповідного проміжку часу .

Границя, до якої наближається середня кутова швидкість за умови , називається кутовою швидкістю в цей момент часу або миттєвою кутовою швидкістю

.

Кутовій швидкості також приписують векторний характер і напрям цього вектора також лежить на осі обертання.

Середнім кутовим прискоренням нерівномірного обертального руху називається кутове прискорення такого рівнозмінного обертання, в якому кутова швидкість одержує той самий приріст протягом того самого проміжоку часу , що й у нерівномірному обертальному русі:

.

Границя відношення при визначає величину кутового прискорення в визначений момент і називається миттєвим:

.

Із тангенційним і нормальним прискоренням поступального руху воно зв'язане за допомогою таких співвідношень

.

Кутове прискорення, як і кутова швидкість, також величина векторна. Вектор , як і вектор , спрямований вздовж нерухомої осі обертання, однак на його напрям ще впливає знак приросту кутової швидкості . Якщо , то вектори і орієнтовані у одному напрямку вздовж осі обертання. Якщо , то вектори і орієнтовані у взаємнопротилежних напрямках.

Вектор швидкості довільної точки твердого тіла, що не лежить на осі обертання, в обертальному русі дорівнює векторному добутку вектора і її радіуса – вектора :

.

Вектор швидкості перпендикулярний до площини, що утворена радіус-вектором і аксіальним , який спрямований вздовж осі обертання так, що трійка векторів утворює правогвинтову систему.

5