26. Рівняння Максвелла

У попередніх розділах розглядалися окремі явища і закони, що їх описують. Але виявляється, що можна сформулювати декілька рівнянь, які є узагальненням усіх наших уявлень про електричне і магнітне поля. Свого часу це зробив Джеймс Кларк Максвелл на основі аналізу теоретичних і експериментальних досліджень. При цьому Максвелл ввів поняття струму зміщення та висловив думку про можливість існування електромагнітних хвиль. Треба зауважити, що ту форму рівнянь, яка буде представлена нижче, склав Хрістіан Лоренц на основі записів Максвелла.

Система рівнянь Максвелла

Відкриття струму зміщення дозволило Максвеллу скласти  фундаментальну систему рівнянь електродинаміки, фактично  створити єдину теорію всіх різноманітних явищ електрики і магнетизму. Ці рівняння не тільки пояснили всі відомі на той час явища, але й дозволили спрогнозувати нові вища, які пізніше було встановлені експериментально.

Система рівнянь Максвелла в  нерухомих середовищах, складається з чотирьох рівнянь. З кожним з них ми вже мали справу, розглядаючи окремі питання. Тепер розглянемо їх усі разом.

1. В інтегральній формі система рівня нянь Максвелла має вигляд:

		(19.8)
		(19.9)
		(19.10)
		(19.11)

В цих рівняннях    об’ємна густина зарядів,  j  густина струму провідності.

Нагадаємо фізичний зміст цих рівнянь.

Рівняння (19.8)  потік вектора D крізь будь-яку замкнуту поверхню визначається алгебраїчною сумою сторонніх зарядів, що містяться всередині об’єму, обмеженого даною поверхнею. Фактично, це рівняння виражає закон Кулона у польовій формі.

Рівняння (19.9)  циркуляція вектора Е по будь-якому замкнутому контуру дорівнює із знаком мінус похідної по часу від магнітного потоку крізь будь-яку поверхню, обмежену даним контуром. При цьому під Е розуміють як вихрове, так і електростатичне поле. Це рівняння є виразом основного закону електромагнітної індукції.

Рівняння (19.10)  потік вектора В крізь будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулеві, що відображає факт відсутності в природі магнітних зарядів.

Рівняння (19.11)  циркуляція вектора Н по будь-якому замкнутому контуру дорівнює потоку повного струму (сумі струму провідності та струму зміщення) крізь довільну поверхню, обмежену даним контуром. Це рівняння є узагальненням закону Біо-Савара (16.13) на випадок наявності струмів зміщення.

З рівнянь (19.9) та (19.11) очевидно, що електричне й магнітне поле в загальному випадку не можна розглядати як незалежні: зміна одного з них зумовлює появу іншого. Тому має сенс тільки сукупність цих полів, тобто єдине електромагнітне поле. Однак у випадку стаціонарних полі, коли вектори Е та В не залежать від часу, система рівнянь Максвелла розпадається на дві групи незалежних рівнянь для електричного та магнітного полів:

		(19.12)
		(19.13)

Систему рівнянь Максвелла є аксіомою природи, їх не можна вивести, чи довести, вони можуть бути тільки перевірені в експерименті. В електродинаміці рівняння Максвелла відіграють таку ж роль, як закони Ньютона в механіці.

Як було показано раніше ці ж рівняння можуть бути записані і в  диференціальній формі. Система рівнянь Максвелла в диференціальній формі  має вигляд:

		(19.14)
		(19.15)

Рівняння (19.14) показують, що електричне поле породжується двома причинами: сторонніми та зв’язаними зарядами, а також змінним у часі магнітним полем.

Рівняння (19.15) показують, що магнітне поле породжується як рухомими зарядженими частинками, які створюють струм провідності, та змінним у часі електричним полем. Жодних джерел магнітного поля, подібних до електричних зарядів (магнітні заряди) не існує.

Рівняння Максвелла в диференціальній формі сумісно з рівнянням руху заряджених частинок під дією сили Лоренца

(19.16)

складають фундаментальну систему рівнянь. Принципово, її достатньо для описання всіх електромагнітних явищ у вакуумі, в яких не проявляються квантові ефекти.

Однак системи фундаментальних рівнянь Максвелла виявляється недостатньо для розрахунків електричного і магнітного полів за заданими струмом та розподілом зарядів при наявності речовини.  Тому система фундаментальних рівнянь повинна бути доповнена рівняннями, в яких ураховуються характеристики середовища. Ці рівняння називають матеріальними. В загальному випадку вони є досить складним, однак у випадку слабких полів та за відсутності сегнетоелектриків та феромагнетиків, ці рівняння суттєво спрощуються і мають вже знайомий нам вигляд:

		(19.17а)
		(19.17б)
		(19.17в)

де    діелектрична проникність, магнітна проникність та електропровідність середовища відповідно, E*  напруженість поля сторонніх сил, зумовлених хімічними, механічними або ж тепловими процесами.