Закон Ома в диференціальній формі.

В становимо зв'язок між векторами    та    в одній і тій же точці провідника. В ізотропному провіднику рух носіїв струму відбувається у напрямі вектора ,  отже напрями векторів    та    співпадають.

Виділимо подумки в околі певної точки провідного середовища елементарний циліндричний об'єм з твірною, паралельною вектору   ,  відтак і вектору    (рис. 15.5).  Крізь поперечний переріз циліндра тече струм  .  Напруга, прикладена до циліндра визначається напруженістю поля  .  Опір циліндра згідно з (15.18) дорівнює  . Тепер  з формули (15.17) одержимо

,  або ж

Користуючись тим, що вектори    та    напрямлені однаково,  можна записати

(15.20)

Ця формула виражає закон Ома в в диференціальній формі. Воно не містить диференціалів (похідних), а свою назву отримала тому, що в нім встановлюється зв'язок між величинами, що відносяться до однієї і тієї ж точки провідника. Інакше кажучи, співвідношення (15.20) виражає локальний закон Ома.

.

При температурах поблизу кімнатної питомий опір металів, як правило, лінійно залежить від температури . Але при зниженні температури спостерігається відхилення від цієї закономірності. У більшості випадків залежність  така, як показано на рис. 15.6. Залишковий опір  у значній мірі залежить від чистоти зразка та залишкових механічних напруг. Однак існують речовини (не тільки метали), для яких при певній температурі     питомий опір стрибком зменшується до нуля (крива 2 на рис. 15.6)  настає так званий стан надпровідності. Для чистих металів температура    складає декілька кельвінів. В останні 20 років знайдені кераміки, у яких стан надпровідності настає при температурах 70  100 К. Це досить висока температура, тому в цьому випадку говорять про надвисокотемпературну надпровідність. Пояснення надпровідності металів було дано Дж. Бардином, Л. Купером та Дж. Шриффером на основі квантових уявлень.

 

4. Розгалужені кола. Правила Кірхгофа

Сформульовані вище закони використовуються потреб практики. На їх основі створені методи розрахунку параметрів різноманітних електричних кіл.

Під електричним колом розуміють систему, що складається з джерел струму та споживачів. У найпростішому випадку, який розглядається в курсі фізики, споживачами є один, або декілька провідників з певним опором. Розгалужені кола являють собою мережу, утворену кількома замкненими електричними колами, які з'єднані між собою в окремих точках і мають спільні ділянки. Найчастіше буває необхідно розрахувати сили струму в окремих елементах кола та напруги на них за відомими опорами та ЕРС джерел. Для цього в електротехніці розроблені спеціальні методи. В курсі загальної фізики вивчаються тільки правила  Кірхгофа.

Перше правило Кірхгофа відноситься до вузлів^[1] кола, тобто до точок його розгалуження (рис. 15.10):

алгебрична сума сил струмів, які сходяться у вузлі, дорівнює нулеві:

(15.28)

 

При цьому, якщо струм втікає у вузол, він вважається додатним, якщо ж витікає, то  від’ємним. Наприклад, для вузла, показаного на рис. 15.10 це правило буде записано у вигляді   .

Перше правило Кірхгофа є наслідком рівняння неперервності, тобто закону збереження заряду. Дійсно, якщо вузол оточити замкненою поверхнею (рис. 15.11), то для постійного струму , а це означає, що потік вектора густини струму (тобто алгебраїчна сума струмів, що течуть крізь уявну замкнену поверхню, що оточує вузол) повинен бути рівним нулеві.

Друге правило Кірхгофа стосується будь-якого замкнутого контуру^[2], виділеного в електричному колі. Це правило твердить:

алгебраїчна сума напруг (добутків сил струмів на опори відповідних ділянок) дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил джерел, що діють у цьому контурі:

(15.29)

де  n  кількість ділянок у контурі,  m  кількість джерел, що включені в контур.

Для доведення другого правила розглянемо замкнутий контур, який складається з трьох ділянок (рис. 15.12). Задаємо напрями струмів у кожній з ділянок і записуємо для них закон Ома (15.26) для неоднорідної ділянки:

Виключивши потенціали із записаних рівнянь, одержимо

що і являє собою вираз другого правила Кірхгофа для даного випадку.

Практичне застосування правил Кірхгофа. В кожному конкретному випадку правила Кірхгофа дозволяють скласти повну систему алгебраїчних рівнянь, розв’язками якої є шукані величини. Рівняння (15.28) та (15.29) слід складати так, щоб їх кількість дорівнювала кількості невідомих величин. При цьому треба слідкувати за тим, щоб одні рівняння не були наслідками інших:

1)    якщо в розгалуженому колі є N  вузлів, то незалежними будуть N   1 рівнянь, складених за першим правилом Кірхгофа; рівняння для останнього вузла буде наслідком попередніх;

2)    якщо в розгалуженому колі можна виділити декілька замкнутих контурів, то незалежні рівняння за другим правилом Кірхгофа можна скласти тільки для тих контурів, які не є результатом накладання вже розглянутих. Як виявляється, число незалежних контурів дорівнює кількості розривів у колі, які треба зробити, щоб зруйнувати всі контури.

Для складання системи рівнянь за правилами Кірхгофа слід робити наступне:

1.       Довільно показати стрілками напрями струмів у кожній ділянці розгалуженого кола (не замислюючись над напрямом стрілок).

2.       Задати довільно напрями обходу виділених контурів (не замислюючись над напрямом обходу).

3.       Для вузлів скласти рівняння за першим правилом Кірхгофа: якщо струм втікає у вузол, він вважається додатним, інакше,  від’ємним.

4.       Для контурів скласти рівняння за другим правилом Кірхгофа: напруга вважається додатною, якщо напрям обходу контуру співпадає з напрямом струму, інакше  від’ємною; ЕРС вважається позитивною, якщо в напрямі обходу вона збільшує потенціал, інакше  негативною.

5.       Після розв’язування системи рівнянь деякі величини можуть виявитися із знаком мінус, наприклад, струм в певній ділянці. Це означає, що попередньо довільно заданий напрям струму треба змінити на протилежний, а величина струму така, як було одержано в результаті обчислень.

 

^[1] Вузол  точка з’єднання  трьох або більше провідників.

^[2] Замкнутий контур  це декілька елементів: джерел струму та резисторів, які утворюють замкнуте коло.