Застосування теореми про циркуляцію вектора в для розрахунку індукції магнітного поля

Для магнітного поля теорема про циркуляцію вектора  B  відіграє таку ж роль, як і теорема Гауса для електростатичного поля. У випадках високої симетрії розподілу струму теорема про циркуляцію дозволяє дуже просто визначати індукцію магнітного поля. Але це буває далеко не завжди, і в цих випадках розрахунки індукції треба проводити іншими способами, наприклад, за допомогою закону Біо-Савара. Нижче розглянуті ті практично важливі випадки, в яких теорема про циркуляцію дозволяє одержати результат з найменшими зусиллями, а саме: магнітне поле прямого струму, магнітне поле дуже довгого соленоїда, магнітне поле тороїда.

Магнітне поле прямого струму. Нехай постійний струм  I  тече по нескінченому дроту круглого перерізу радіуса R. Вважаючи, що струм рівномірно розподілений по перерізу дроту, визначимо індукцію магнітного поля залежно від відстані до осі цього дроту.

З огляду на симетрію задачі очевидно, що лінії вектора  В  є колами, центри яких співпадають з віссю дроту. При цьому модуль вектора  В  є однаковим на рівних відстанях від осі дроту. Тому побудуємо замкнутий контур у вигляді кола радіуса  r  з центром на осі дроту (рис. 16.9а). Оскільки вектор B  у кожній точці контуру співпадає з дотичною до кола (тобто вектором   )  і його модуль у всіх точках контуру однаковий, то . Тоді за теоремою про циркуляцію вектора  В  маємо

де       струм, що проходить крізь поверхню, обмежену контуром.

Розглянемо два випадки:     та   .

У першому випадку контур охоплює весь струм, що тече по дроту, отже

(16.16a)

що  співпадає з (16.9) .

У другому випадку  (  )  крізь поверхню, охоплену контуром, тече струм   , отже

(16.15б)

Графік залежності індукції від відстані r показаний на рис. 16.9б.

 

10. Магнітне поле нескінченного соленоїда та тороїда (виведення формул).

Магнітне поле дуже довгого соленоїда. Нехай струм  I  тече по дроту, намотаному по гвинтовій лінії на циліндричний каркас (рис. 16.10). Струм у кожному витку створює своє магнітне поле. В результаті їх накладання утворюється картина ліній вектора В, показана на рис. 16.10. Якщо дріт тонкий і витки намотані впритул один до одного, то виявляється, що магнітне поле зовні соленоїда результуюча індукція досить мала. Розрахунок і досвід свідчать, що чим тонше дріт, чим густіша його намотка і чим довше соленоїд, тим менше індукція зовні соленоїда. Якщо ж соленоїд дуже довгий, теоретично нескінчений, то магнітне поле існує тільки всередині соленоїда, зовні ж   В = 0. Індукцію цього поля ми зараз і знайдемо, користуючись теоремою про циркуляцію вектора  В. З міркувань симетрії зрозуміло, що поле всередині соленоїда повинно бути напрямленим вздовж його осі, причому напрям вектора  В  утворює з напрямом струму правогвинтову систему. Спочатку побудуємо прямокутний замкнутий контур так, як показано на рис. 16.11а. Циркуляція вектора  В  по сторонах 1-2 та 3-4 цього контуру відмінна від нуля, а по сторонах 2-3 та 4-1 рівна нулю. Якщо довжини сторін 1-2 та 3-4 дорівнює  l, то за теоремою про циркуляцію маємо:

де  B₁₂, B₃₄  величини індукції на відповідних сторонах контуру. В цьому виразі ураховано, що побудований контур не охоплює струмів, а також те, що рух по стороні 3-4 відбувається проти вектора В. Таким чином, після скорочення на l маємо:

B12 = B34,

тобто індукція магнітного поля в будь-якій точці всередині нескінченого соленоїда однакова, отже поле є однорідним.

Тепер побудуємо замкнутий контур так, як показано на рис. 16.11б і обчислимо циркуляцію вектора В. Циркуляція по сторонах 2-3, 3-4, 4-1 дорівнює нулеві. Відмінна від нуля тільки циркуляція по стороні 1-2. Побудований контур охоплює N  витків соленоїда, тому за теоремою про циркуляцію маємо:   ,  звідки

(16.16)

де N/l = n  кількість витків на одиницю довжини.

 

Магнітне поле тороїда. Тороїд  являє собою дріт, намотаний на каркас, що має форму тора, радіус середньої лінії якого дорівнює R  (рис. 16.12а). Виходячи з симетрії розподілу струму нескладно зрозуміти, що лінії вектора В повинні бути колами з центром у центрі тороїда (точка О на рис. 16.12б). Тому візьмемо в якості замкнутого контуру коло радіуса r, яке розташоване всередині тора. Цей контур охоплює N  витків із струмом  I,  отже теорема про циркуляцію набуває вигляду

Звідси маємо

(16.17а)

Якщо використати кількість витків, що припадає на одиницю довжини середньої лінії тороїда   ,  то

(16.17б)

За умови, що  R  дуже велике (теоретично  прямує до нескінченості) відміною між  r  та  R  можна знехтувати. Тоді

(16.17в)

що співпадає з формулою для індукції поля нескінченого соленоїда.

Висновки. Результати, які були одержані вище, можна було б одержати за допомогою закону Біо-Савара. Однак застосування  теореми про циркуляцію (закон повного струму) дозволила це зробити значно простіше і швидше.

Легкість, з якою були проведені розрахунки, є оманливою. Число задач, які можна розв’язати за допомогою цієї теореми, нажаль, дуже обмежена і стосується тільки високої симетрії розподілу струму. Навіть така задача як магнітне поле колового струму за допомогою теореми про циркуляцію не може бути розв’язана.