47. Метод Гольдфарба

1. Умова розташування гармонічно лінеаризованої системи на коливальній границі стійкості запишеться у вигляді:

   , .	(9.41) (9.42)

2. Будуються два годографи: АФЧХ лінійної частини та інверсна характеристика нелінійного елемента . Кожний з годографів залежить тільки від одного шуканого параметра.

Т

Приклад 32.Визначити параметри періодичного режиму, методом Гольдфарба, якщо лінійна частина системи описується передавальною функцією , , а нелінійна – ідеальним реле.

очка їхнього перетину відповідає границі стійкості еквівалентної системи. Частота коливань локалізується за мітками АФЧХ , а амплітуда - по мітках на інверсній характеристиці .

Розв'язок.

1) Еквівалентний комплексний коефіцієнт підсилення для даного нелінійного елемента

.

2) Знайдемо дійсну і уявну частини даної передавальної функції :

,

,

.

3. АФЧХ лінійної частини і графік інверсної частини характеристики мають вигляд:

4) Знайдемо точки перетинання двох характеристик. Для цього прирівняємо уявну частину до нуля і знайдемо значення частоти коливань:

Знайдемо період коливань:

.

Підставимо значення частоти в дійсну частину, знайдемо точку перетину:

.

З інверсної характеристики знайдемо значення амплітуди:

,

.

5) Виконаємо моделювання досліджуваної нелінійної системи в Simulink:

Перехідний процес представлений на рисунку:

Як видно з графіку, аналітичні розрахунки співпали з результатами моделювання.

Зауваження 9.8. Якщо годографи не мають точки перетину (наприклад рис. 9.35), то в цьому випадку ми повинні говорити про відсутність у системі періодичних режимів гармонійної форми. Але можуть виникати коливання більш складні, форма яких сильно відрізняється від гармонійної.

47. Критерий устойчивости нелинейных систем (метод Попова)

Розглянемо нелінійну систему, що складається зі стійкої лінійної частини з передавальною функцією і одного безінерційного нелінійного елемента з характеристикою .

Зауваження 9.2: Нехай передавальна функція лінійної частини системи має вигляд:

,

причому містить корені, що лежать у лівій напівплощині і може мати один або два нульових коренів. Це означає, що крім статичної системи можуть розглядатися і астатичні системи першого і другого порядків.

Зауваження 9.3. Статична характеристика нелінійного елемента може приймати будь-які обриси, але не виходити за межі заданого кута .

Н аведемо критерій Попова без доказу. Представимо комплексну передавальну функцію лінійної частини системи в алгебраїчній формі:

.

(9.29)

Припустимо, що замість нелінійного включений лінійний елемент з коефіцієнтом , тоді вираз (9.29) буде мати вигляд:

.

(9.30)

Відповідно до критерію Найквіста, щоб система була стійкою, необхідно та досить щоб її годограф не охоплював точку . Цей критерій можна сформулювати по-іншому: щоб система (9.29) була стійкою необхідно, щоб АФЧХ не охоплювала точку .