25. Критерий устойчивости Гурвица

Формулювання критерію: для того щоб всі корені характеристичного рівняння мали від’ємні дійсні частини, тобто лежали в лівій напівплощині коренів, необхідно й достатньо, щоб при всі визначників Гурвіца були більше нуля.

Головною задачею при використанні цього критерію є правильний запис визначника Гурвіца.

Алгоритм запису визначника Гурвіца:

1. По головній діагоналі виписуються коефіцієнти рівняння (5.3) зі зростаючими індексами, починаючи з і включно ;

2. Кожний рядок доповнюється коефіцієнтами зі зростаючими індексами зліва направо, так, щоб чергувалися рядки з непарними й парними індексами;

3. Всі місця відсутніх коефіцієнтів заповнюються нулями.

Всі визначники або мінори показані у визначнику Гурвіца пунктиром, наприклад

(5.4)

Для того, щоб система була стійкою необхідно та достатньо, щоб при а₀ > 0 всі n визначників були > 0.

Частковий випадок КГ

1. a₀s + a₁ = 0; a₀>0, a₁>0. Для системи 1-го порядку для її стійкості необхідно, щоб коефіцієнти були >0.

2. а₀s² + a₁s +a₂ = 0; a₀>0, a₁>0, a₂>0. Для системи 2-го порядку для її стійкості теж необхідно, щоб всі коефіцієнти також були додатніми.

3. a₀s³ + a₁s² +a₂s +а₃= 0; a0>0; a1>0, a2>0, a3>0. Для системи 3-го порядку теж необхідно, щоб всі коефіцієнти були додатніми і виконувалась умова a₁a₂-a₀a₃>0.

Алгоритм розв’язку задачі:

1. визначаємо передаточну функцію замкненої системи

2. записуємо характеристичне рівняння

3. складаємо визначник Гурвіца і виписуємо всі мінори або використовуємо часткові випадки

25. Расчетные формы нелинейных моделей (структурная схема)

Найчастіше використовувані форми подання нелінійних моделей розрахункових видів:

1. Велика група точних і наближених методик дослідження автоматичних систем на основі нелінійного підходу використовує типову структурну схему, представлену на рис. 9.2, що моделює широкий клас систем управління зі зворотним зв'язком.

При наступних обмеженнях:

• як нелінійний елемент - безінерційні елементи з одним входом і виходом;

• динамічні властивості системи зосереджені в лінійній частині з передавальною функцією

.

(9.2)

2) Моделі для рівноважних режимів:

• у формі диференціальних рівнянь;

• у формі структурної схеми.

3) Моделі у формі диференціальних рівнянь другого порядку.

9.2.1 Приведення моделей до розрахункової форми

Якщо форма представлення вихідної нелінійної моделі системи автоматичного управління відрізняється від розрахункової структури (рис. 9.2) і структурна схема містить декілька безпосередньо з'єднаних безінерційних нелінійних елементів, то в цьому випадку декілька нелінійних елементів можна замінити одним еквівалентним.

Існують наступні стандартні з'єднання нелінійних ланок:

1. послідовне з'єднання нелінійних елементів;

2. паралельне з'єднання;

3. з'єднання типу зворотного зв'язку.

1) Послідовно з'єднані нелінійні елементи еквівалентні одному нелінійному елементу зі статичною характеристикою

, ,

(9.2)

є композицією статичних характеристик складових.

У загальному випадку перестановка нелінійного елемента дає інший результат (не комутативна):

.

Розглянемо приклад послідовного з'єднання двох нелінійних ланок, статичні характеристики яких задані графічно. Процедура одержання еквівалентного нелінійного елемента показана на рис. 9.4.

2) Паралельно з'єднані нелінійні елементи еквівалентні одному нелінійному елементу зі статичною характеристикою

.

(9.3)

Тут перестановка нелінійних елементів дає той же результат.

Графічна процедура побудови статичних елементів еквівалентної ланки зводитися до покоординатного додавання статичних характеристик і , як показано на рис. 9.5.

3) Розглянемо третю ситуацію, коли два нелінійних елементи утворюють контур з негативним зворотним зв'язком (рис. 9.3, в).

Перш ніж будувати еквівалентну статичну характеристику, нагадаємо визначення взаємно зворотних нелінійних елементів.

Взаємно зворотні нелінійні елементи мають статичні характеристики, графіки яких є симетричними щодо бісектриси першого і третього квадрантів (при однаковому масштабі для абсцис і ординат). Це показано на рис. 9.6.

Для отримання еквівалентної статичної характеристики для даного з'єднання рис.9.3 в необхідно знайти статичну характеристику .