Метод гармонического баланса (гармоническая линеаризация).
Періодичні процеси в нелінійних системах - автоколивання - часто зустрічаються і практично важливі режими функціонування.
Важливу інформацію про існування періодичних режимів у нелінійних системах, їх кількості і параметрах може дати наближений метод гармонійного балансу (у закордонній літературі метод « функції, що описує»).
Перевага частотного методу гармонійного балансу полягає в його наочності, фізичності, у можливості отримати залежність показників якості процесів від вигляду і параметрів нелінійності, структури і параметрів лінійної частини, що є передумовою розв'язання задач синтезу.
У випадку прийняття гіпотези про близькість форми шуканих коливань до гармонійного основними етапами методу гармонійного балансу є:
заміна нелінійного елемента еквівалентною характеристикою (гармонійна лінеаризація);
визначення параметрів коливань;
аналіз стійкості коливань.
9.6.1. Гармонійна лінеаризація
Суть методу полягає в заміні нелінійного елемента еквівалентним лінійним, котрий однаково з нелінійним перетворює гармонійні коливання і характеризується еквівалентним комплексним коефіцієнтом підсилення.
а)
Якщо на вхід лінійної системи з
передавальною функцією
подається гармонійне коливання
,
то на виході виникають також гармонійні
коливання, але з іншою амплітудою і
фазою
|
(9.33) |
.
б)
Якщо на вхід нелінійного елемента подати
гармонійний сигнал, то на його виході
отримаємо періодичну функцію, що істотно
відрізняється від синусоїдної
(рис. 9.32).
в)Суть методу гармонійної лінеаризації полягає в тому, що вихідна періодична функція нелінійного елемента розкладається в ряд Фур'є, тобто представляється у вигляді нескінченної суми гармонійних коливань.
Якщо лінійна частина системи є фільтром, що послабляє вищі гармоніки до малих величин якими можна знехтувати, тобто виконується гіпотеза фільтра, то з розгляду відкидаються всі гармоніки вищого порядку і вважають, що вихідна величина нелінійного елемента являє собою першу гармоніку розкладання:
|
(9.34) |
,
де
- коефіцієнти першої гармоніки ряду
Фур'є.
|
(9.35) |
або
,
де
- амплітуда першої гармоніки,
-
зсув фази першої гармоніки щодо вхідного
впливу.
У комплексному вигляді:
.
г) Відношення комплексних зображень першої гармоніки вихідної величини і вхідного коливання називають еквівалентним комплексним коефіцієнтом підсилення нелінійного елемента (ЕККП):
|
(9.36) |
,
де
- коефіцієнти гармонійної лінеаризації.
(9.37)
Зауваження 9.4. Інші назви ЕККП - «гармонійна передавальна функція» або « функція, що описує».
Зауваження
9.5. Функція
є аналогом
лінійного елемента з тією відмінністю,
що перша залежить від амплітуди вхідного
коливання, а друга - від частоти цього
коливання.
