7.3 Закон Био-Савара-Лапласа

Индукция магнитного поля В служит количественной характеристикой магнитного поля. Для количественного описания поля введем понятие элемента тока (в законе Ампера мы уже использовали это понятие).

Векторная величина, равная произведению силы тока I на длину прямолинейной части проводника dl, называется элементом тока . Направление элемента тока совпадает с направлением силы тока.

Рисунок 7.7

Элемент тока создает вокруг себя магнитное поле, величину и направление которого в каждой точке поля определяют с помощью закона Био-Савара-Лапласа. В скалярной форме закон Био-Савара-Лапласа можно представить в следующем виде:

. (7.4)

Закон Био-Савара-Лапласа утверждает, что элемент проводника с током создает в точке М магнитное поле, величина вектора индукции которого пропорциональна величине элемента тока , синусу угла  между направлением тока и радиус- вектором , определяющим положение точки М в пространстве, и обратно пропорциональна квадрату расстояния между элементом тока и точкой М (см. рис.7.7), – магнитная проницаемость среды, в которой распространяется поле, – магнитная проницаемость вакуума, которая равна .

Вектор перпендикулярен плоскости, образованной элементом тока и радиус-вектором , а направление определяется по правилу правой руки (см. рис.7.4б).

Для магнитных полей также соблюдается принцип суперпозиции:

при наложении нескольких магнитных полей, имеющих в данной точке пространства векторы индукции , вектор индукции результирующего поля равен геометрической (векторной) сумме векторов индукции, складываемых полей:

. (7.5)

Если происходит сложение двух полей и , то , а абсолютное значение вектора индукции результирующего поля равно:

,

где  – угол между векторами и .

Закон Био-Савара-Лапласа (7.4) представлен в виде дифференциального уравнения для вектора индукции магнитного поля, создаваемого не всем проводником, а лишь его небольшим участком dl. Для того чтобы вычислить полный вектор индукции в произвольной точке М, необходимо воспользоваться принципом суперпозиции (7.5). Вектор индукции магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником с током, в соответствии с принципом суперпозиции определяется уравнением

, (7.6)

где I – сила тока в проводнике, r – расстояние от проводника до исследуемой точки магнитного поля.

7.4 Сила Лоренца

Магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные движущиеся заряженные частицы. Силу, действующую на движущуюся заряженную частицу, со стороны магнитного поля, называют силой Лоренца.

Сила, которую испытывает элемент тока в магнитном поле – это результирующая всех сил, действующих на отдельные заряды, движущиеся в выделенном элементе проводника с током и согласно уравнению (7.2) эта сила равна

.

Силу тока можно представить как количество заряда, протекающего в единицу времени через поперечное сечение проводника , где – величина заряда отдельной частицы, n-число частиц в единице объема Sdl. Величину dl можно представить как путь, пройденный заряженной частицей за единицу времени, тогда , dt – равно единице. Поэтому , где – объем элемента тока, – число носителей заряда в элементе тока

.

Тогда сила, действующая на отдельный заряд, движущийся в магнитном поле равна

. (7.7)

Чаще всего под силой Лоренца понимают силу, действующую на движущуюся заряженную частицу одновременно со стороны двух полей: электростатического и магнитного, тогда

.

Из формулы (7.7) видно, что магнитное поле не действует на заряженную частицу в двух случаях:

1. если частица неподвижна ,

2. если частица движется вдоль силовых линий магнитного поля .

Если частица влетает в магнитное поле перпендикулярно силовым линиям, , то сила Лоренца равна: .

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы силовые линии вектора магнитной индукции входили в ладонь, вытянутые пальцы показывали направление скорости, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд. Если частица имеет отрицательный заряд, то направление силы будет противоположным (см. рис.7.8).

Рисунок 7.8

Обозначим крестиками силовые линии магнитного поля, направленные перпендикулярно плоскости чертежа от нас. Сила Лоренца направлена перпендикулярно вектору скорости и вектору индукции, следовательно, является центростремительной силой. Под действием этой силы заряды будут двигаться по окружности, расположенной в плоскости перпендикулярной линиям индукции. Поскольку сила Лоренца является центростремительной силой, то

, (7.8)

где m – масса заряженной частицы, R – радиус окружности. Из формулы (7.8), следует, что радиус окружности, по которой движется в магнитном поле заряженная частица, определяется по формуле , а период обращения частицы по этой окружности равен . Период не зависит от скорости движения заряженной частицы, а зависит только от ее массы. С помощью силы Лоренца можно разделить поток положительных и отрицательных частиц (см. рис.7.8). Сила Лоренца меняет направление скорости, не меняя ее величины. Следовательно, кинетическая энергия частицы не меняется. Значит, постоянное магнитное поле не совершает работы.