4.3.2 Уравнение Бернулли. Давление в потоке жидкости

В стационарном потоке идеальной жидкости вырежем часть тонкой трубки тока с сечениями и . Во входном сечении S₁ давление p₁, скорость и высота сечения над произвольным уровнем h₁; в выходном сечении S₂ соответственно р₂, , h₂ (см. рисунок 4.4).

Рисунок 4.4

За промежуток времени t масса входящей в отсек жидкости равна массе жидкости, выходящей из отсека.

Масса жидкости m, протекающей за время t через сечение S₁ имеет кинетическую энергию, равную , и потенциальную энергию . В результате действия сил давления на сечения S₁ и S₂ со стороны слоев жидкости, находящихся слева от S₁ и справа от S₂, производится работа

,

где путь, который проходит столб жидкости массой m за время t в сечении S₁, а в сечении S₂ путь . Следовательно, работа А, совершаемая потоком жидкости, равна

Полная энергия потока жидкости, протекающего за время t через входное сечение S₁, будет равна

,

а через сечение S₂

.

Изменение полной энергии жидкости равно работе, совершенной внешними силами, т.е.

(4.1)

Согласно уравнению непрерывности струи, объемы, входящие в S₁ за время t и выходящие через S₂, одинаковы, поэтому можно записать

.

Разделив левую и правую части уравнения (4.1) на объем V и используя формулу плотности , получаем для двух различных сечений трубки тока:

,

т.е. для каждого сечения трубки тока справедливо выражение:

, (4.2)

выражение (4.2) называется уравнением Бернулли. Слагаемое р называется статическим давлением, – гидростатическим давлением, а –называется динамическим давлением.

В качестве следствий из уравнения Бернулли рассмотрим два случая: горизонтальное течение жидкости и истечение жидкости из отверстия.

1.При горизонтальном течении жидкости все части трубки тока лежат на одном уровне, значит h=const, поэтому в уравнении (4.2) выражение можно перенести в правую сторону и объеденить с константой, и тогда

,

т.е. при горизонтальном течении жидкости сумма динамического и статического давлений не изменяется при отсутствии трения или статическое давление невязкой жидкости при течении по горизонтальной трубке увеличивается там, где уменьшается скорость ее течения и, наоборот. Рассмотрим горизонтально расположенную трубку с переменным сечением (см. рис.4.5). Из уравнения непрерывности следует, что в суженном участке трубки будет самая большая скорость, поэтому давление статическое на этом участке будет самым маленьким, можно добиться того, что оно будет меньше атмосферного давления и тогда струя протекающей по трубке жидкости может оказывать всасывающее действие (водоструйный насос, ингаляторы).

Рисунок 4.5

Рисунок 4.6

2.Применим уравнение Бернулли (4.2) к случаю истечения жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде (см. рис.4.6) При этом будем считать, что внешнее давление (например, атмосферное) неизменно. Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую поверхность жидкости в сосуде, а с другой стороны – отверстие, через которое вытекает жидкость.

В сечении, расположенном на поверхности жидкости скорость одинакова по всему сечению и равна 0. В сечении, через которое жидкость вытекает, ее скорость везде одинакова и равна u . Далее давления в обоих сечениях равны атмосферному давлению и поэтому одинаковы. Применительно к данному случаю уравнение (4.2) можно записать в следующем виде

,

Сокращая на  и введя – высоту открытой поверхности жидкости над отверстием, получаем:

откуда

, (4.3)

выражение (4.3) называется формулой Торричелли.

Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения меньше, причем тем сильнее отличается, чем больше вязкость жидкости. Формула (4.3) справедлива как для боковых, так и для донных отверстий и не зависит от угла наклона выходного отверстия.

Формула Торричелли, например, позволяет правильно оценить высоту расположения сосуда с лекарственным препаратом при его введении в вену.