3.6. Затухающие колебания

В реальных условиях на тело со стороны окружающей среды действуют силы трения, препятствующие движению. На преодоление сил трения расходуется энергия. Поэтому энергия колеблющегося тела уменьшается и, следовательно, уменьшается амплитуда колебаний, т.е., колебания становятся затухающими (см. уравнение (3.12)).

Запишем второй закон Ньютона для реальных условий:

,

поскольку все силы действуют вдоль одной линии, то в скалярном виде уравнение движения будет иметь вид: .

При небольших скоростях движения сила трения пропорциональна скорости и направлена противоположно ей, поэтому

,

где µ – коэффициент трения. Тогда второй закон Ньютона запишется:

перенесем все члены уравнения в левую часть и разделим на m:

. (3.16)

Получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний, общее решение которого будет иметь следующий вид:

, (3.17)

где – круговая частота затухающих колебаний:

. (3.18)

Выражение (3.17) является уравнением затухающих колебаний. Оно отличается от чисто гармонического колебания тем, что амплитуда колебания с течением времени уменьшается (см. рисунок 3.8). Пунктиром на этом рисунке изображена зависимость амплитуды от времени.

Рисунок 3.8

– называют коэффициентом затухания, чем больше коэффициент затухания , тем быстрее затухают колебания. На практике степень затухания характеризуется логарифмическим декрементом затухания. Логарифмический декремент затухания – это натуральный логарифм отношения двух амплитуд затухающего колебания, отличающихся на один период:

.

Физический смысл логарифмического декремента затухания заключается в том, что это величина, обратная числу колебаний, после которых амплитуда уменьшается в раз:

,

где – число колебаний, которое успевает совершить колеблющееся тело за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

С увеличением трения частота колебаний уменьшается, а период соответственно увеличивается. При равенстве коэффициента затухания частоте собственных колебаний , частота затухающих колебаний , а , движение становится апериодическим, т.е., при большом трении выведенное из равновесия тело затем медленно возвращается к положению равновесия, колебания не возникают.

3.7 Вынужденные колебания

Вынужденными называются колебания, которые возникают в системе под действием постоянно действующей внешней силы, которая изменяется по периодическому закону, например,

, (3.19)

где – амплитуда вынуждающей силы, – ее круговая частота. Тогда второй закон Ньютона запишется в виде

.

В скалярном виде . Пусть сила трения равна нулю , тогда

, (3.20)

разделив уравнение (3.20) на m, и перенося члены с х в левую часть, получим дифференциальное уравнение

(3.21)

это неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка для вынужденных колебаний, поэтому его решение имеет следующий вид:

. (3.22)

При действии вынуждающей силы тело будет колебаться с частотой вынуждающей силы. Значение амплитуды в уравнении (3.22) определяется следующим образом:

.

Рисунок 3.9

Видно, что амплитуда колебаний зависит не только от амплитуды вынуждающей силы, но и от разности квадратов собственной частоты и частоты вынуждающей силы. Графически эта зависимость представлена на рисунке 3.9. Отдельные кривые на графике соответствуют различным значениям параметра (коэффициента затухания), чем меньше , тем выше и правее лежит максимум данной кривой.

При частоте колебаний вынуждающей силы равной частоте собственных колебаний системы ₀ ( ) амплитуда колебаний резко возрастает, т.е. . Это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы называется резонансом. В реальных условиях наличие трения ограничивает возрастание амплитуды. С увеличением трения уменьшаются и амплитуда колебаний, и резонансная частота.

Резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано с изменениями, которые он может вызвать, например, действие инфразвука на внутренние органы человека. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания.