2 Случайные величины

2.1 Cлучайная величина и ее функция распределения

Понятие случайной величины является одним из важнейших в теории

вероятностей, так как дает возможность сопоставлять элементарным исходам

вещественные числа. Это позволяет в дальнейшем применять для решения

конкретных задач хорошо развитые методы математического анализа.

Примерами случайных величин являются время безотказной работы в

теории надежности, результаты наблюдений в метрологии, количество де-

фектных изделий при контроле качества продукции.

Определение случайной величины.

Случайной величиной X (ω), ω ∈ Ω называют числовую функцию,

заданную на пространстве элементарных событий Ω и такую, что для

любого числа x множество вида {ω|X (ω) < x} является событием.

Случайные величины принято обозначать прописными (большими) бук-

вами из конца латинского алфавита X (ω) , Y (ω) , Z (ω) , а их возможные

значения соответствующими малыми буквами x, y, z .

Числовое значение x , которое приняла случайная величина при появ-

лении какого-либо случайного исхода ω ∈ Ω называют реализацией данной

случайной величины, а множество всех реализаций областью значений

случайной величины . Числовые множества из области значений случай-

ной величины являются событиями, только в том случае, когда их прообра-

зы являются событиями в пространстве Ω . Для обозначения числовых со-

бытий обычно используют записи (X < x) , (X = x) , a ≤ X < b и т. п., а

для обозначения соответствующих событий в пространстве Ω обозначения

{ω|X (ω) < x} , {ω|X (ω) = x} , {ω|a ≤ X (ω) < b} .

При решении практических задач случайные величины позволяют еди-

нообразно анализировать несколько числовых характеристик случайного экс-

перимента, используя при этом аппарат числовых функций. Например, у

каждого человека имеется много числовых характеристик: рост, возраст, вес

и так далее. Если мы выбираем человека случайно (например, из группы

студентов или из прохожих в метро), то случайными будут и значения его

характеристик. Чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что некоторая, реги-

стрируемая по ходу опыта, числовая характеристика зависит от случайного

исхода и потому сама является случайной, её называют случайной величиной.

Полное вероятностное описание случайной величины вводится на осно-

ве понятия закона распределения или, более коротко, распределения.

29

Определение закона распределения. Законом распределения слу-

чайной величины называют правило, позволяющее найти вероятности со-

бытий, задавая их множествами из области значений случайной величины.

Универсальным законом распределения для любых случайных вели-

чин является функция распределения, обозначаемая F_X(x) или F (x) , если

в данный момент рассматривается только одна случайная величина.

Определение функции распределения. Функцией распределения

случайной величины X называется вещественная функция, которая для

любого числа x ∈ R равна вероятности события {ω ∈ Ω|X (ω) < x} :

F (x) = P (X < x) = P {ω ∈ Ω|X (ω) < x}.

С помощью функции распределения можно вычислить вероятность по-

падания случайной величины не только на промежуток {X < x} , но и на

другие промежутки числовой оси. В частности, справедлива теорема.

Теорема 4 (о вероятности попадания на промежуток [a, b) ). Для лю-

бых вещественных чисел a < b вероятность попадания случайной величи-

ны X (ω) на промежуток [a, b) равна приращению функции распределения

F (x) на отрезке [a, b] , т. е. справедлива формула

P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a).

Доказательство. Представим событие {X (ω) < b} в виде суммы несовмест-

ных событий {X (ω) < a} и {a ≤ X (ω) < b} . Тогда по формуле сложения

вероятностей двух несовместных событий получим

P {X (ω) < b} = P {X (ω) < a} + P {a ≤ X (ω) < b}.

Отсюда и определения функции распределения следует выводимая формула.

Найдем вероятность того, что случайная величина находится правее

или в точке a . Представим достоверное событие Ω в виде суммы двух несов-

местных событий {X (ω) < a} и {X (ω) ≥ a} . Используя аксиому сложения

вероятнстей получим формулу P (X (ω) < a) + P (X (ω) ≥ a) = P (Ω) . Учи-

тывая, что P (Ω) =1 и определение функции распределения, получим

P (X ≥ a) = 1 − F (a).

Функция распределения обладает следующими свойствами.

Теорема 5 (основные свойства функции распределения).

30

1. Функция распределения существует для любых случайных величин и

задана на всей числовой оси по формуле F (x) = P (X (ω) < x), x ∈ R .

2. Возможные значения функции распределения лежат в диапазоне от

нуля до единицы, т. е. 0 ≤ F (x) ≤ 1, −∞ < x < ∞.

3. F (x) неубывающая функция на всей числовой оси.

4. F (x) непрерывна слева.

5. F (−∞) = lim

x→−∞

Доказательство.

F (x) = 0, F (+∞) = lim

x→+∞

F (x) = 1 .

1. Свойство 1 следует непосредственно из определения функции распреде-

ления.

2. Свойство 2 справедливо, так как функция распределения определяется

через вероятности событий, а любые вероятности всегда находятся в диа-

пазоне от нуля до единицы.

3. Другими словами свойство 3 формулируется следующим образом. Функ-

ция распределения не убывает на всей числовой оси, т. е. F (x₁) ≤ F (x₂)

при всех значениях x₁< x₂. Если x₁< x₂, то множество {X (ω) < x₁}

лежит внутри множества {X (ω) < x₂} . В силу теоремы о неубывании

распределения вероятностей справедливо неравенство

P (X (ω) < x₁) ≤ P (X (ω) < x₂).

Отсюда, учитывая определение функции распределения, следует доказы-

ваемое свойство.

4. Свойство 4 о непрерывности функция распределения слева в каждой точ-

ке x₀числовой оси записывается в виде lim

x→x₀−0

F (x) = F (x₀) .

Для доказательства свойства рассмотрим произвольную числовую после-

довательность x₁, x₂, . . . , x_n, . . . , сходящуюся к числу x₀слева.

Событие A = {X (ω) < x₀} является счетным объединением следующих

несовместных событий:

A₁= {X < x₁}, A₂= {x₁≤ X < x₂}, . . . , A_n= {x_n−1 ≤ X < x_n}, . . . .

По расширенной аксиоме сложения вероятность события A равна сумме

вероятностей этих событий, то есть сумме числового ряда:

P (A) = F (x₀) = P (A₁) + P (A₂) + · · · + P (A_n) + · · · =

31

= F (x₁) + [F (x₂) − F (x₁)] + · · · + [F (x_n) − F (x_n−1)] + . . . .

Так как ряд сходится абсолютно, то можно таким образом переставить и

сгруппировать члены ряда в правой части предшествующего выражения,

чтобы для любого конечного номера n получить формулу

F (x₀) = [F (x₁) −F (x₁)]+[F (x₂)−F (x₂)]+· · ·+[F (x_n−1 −F (x_n−1^)]+F (x_n).

Отсюда, по определению суммы ряда следует

lim

n→+∞

F (x_n) = F (x₀),

а по определению левого предела функции по Гейне

lim

x→x₀−0

F (x) = lim

n→+∞

F (x_n) = F (x₀),

что и означает непрерывность функции распределения слева.

5. Свойство 5 следует из свойства 3 о неубывании функции распределения

и равенств P (∅) = 0 , P (Ω) = 1 .

Таким образом, любая функция распределения является неубывающей

функцией, изменяющейся непрерывно либо скачками от нуля до единицы.

В зависимости от вида области значений и свойств закона распределе-

ния различают дискретные и непрерывные случайные величины.