2.3.2 Числовые характеристики непрерывного распределения

Числовые характеристики для непрерывных случайных величин име-

ют тот же смысл, что и для дискретных, и подразделяются на характеристи-

ки положения (математическое ожидание, медиана, мода), характеристики

рассеяния (дисперсия, стандартное отклонение, интерквартильный размах)

и характеристики формы (коэффициенты асимметрии и эксцесса).

Определение математического ожидания. Математическим

ожиданием m_xнепрерывной случайной величины X называется действи-

тельное число, определяемое как абсолютно сходящийся интеграл вида

+∞

∫

M (X ) = m_x=

−∞

x f (x)dx.

Если для некоторой случайной величины интеграл расходится, то для неё

математическое ожидание не существует и необходимо искать другие ха-

рактеристики положения. В этом случае не существуют также дисперсия и

среднее квадратическое отклонение, которые определяются с использованием

математического ожидания. Основные свойства оператора математического

ожидания M (X ) , приведенные ранее для дискретных случайных величин,

сохраняются для непрерывных случайных величин.

Пример. Покажем, что для распределения Коши, задаваемого плот-

ностью f (x) =¹

π(1+x2)^{, x}∈ R , математическое ожидание не существует.

Действительно, по определению, математическое ожидание равно:

+∞

+∞

+∞

m_x=

∫

−∞

x f (x)dx =

∫

−∞

x dx

π(1 + x²)

=

1

2 π

53

∫

−∞

d(1 + x²)

1 + x²

=

1

2 π

ln(1 + x²)|⁺−∞∞_.

Так как натуральный логарифм стремится к бесконечности при стремлении

аргумента к бесконечности, то данный несобственный интеграл расходится и

математическое ожидание не существует, что и требовалось показать.

Определение медианы непрерывного распределения. Медиана

h_xнепрерывной случайной величины X всегда существует, делит область

значений случайной величины на две равные по вероятности части и опре-

деляется из любого из двух условий:

1) P (X < h_x) = P (X ≥ h_x); 2)F (h_x) = 0, 5 .

Переходя в первом определяющем условии от вероятностей к функции

распределения, получим равенство F (h_x) = 1 − F (h_x) . Отсюда следует, что

медиана является решением уравнения F (h_x) = 0, 5 .

Далее, всегда справедливо равенство P (X < h_x) = 1 − P (X ≥ h_x) . Из

второго условия F (h_x) = 0, 5 получим P (X ≥ h_x) = 0, 5 , т. е. выполняется

первое условие P (X < h_x) = P (X ≥ h_x) .

Если некоторая непрерывная случайная величина не имеет математиче-

ского ожидания, то в качестве характеристики центра распределения обычно

выбирают медиану или моду распределения.

Определение моды непрерывного распределения. Модой d_xслу-

чайной величины X непрерывного типа называется точка локального мак-

симума функции плотности распределения вероятностей f (x) .

Если имеется только одна мода, то распределение называют унимо-

дальным , а мода является наиболее вероятным значением случайной вели-

чины. Если непрерывное распределение имеет более чем одну моду, то его

называют мультимодальным распределением. Отметим, что для некото-

рых распределений мода может не существовать.

В более подробных руководствах показано, что математическое ожи-

дание новой случайной величины ϕ(X ) , являющейся функцией исходной

непрерывной случайной величины X (ω) , вычисляется по формуле:

+∞

∫

M (ϕ(X )) =

−∞

ϕ(x) f (x)dx.

Эта теорема позволяет сформулировать определение дисперсии непрерывной

случайной величины в том же виде, что и для дискретной случайной вели-

чины, конкретизируя только формулу вычисления дисперсии.

Определение дисперсии непрерывного распределения.

Дисперсия D_xнепрерывной случайной величины X определяется как ма-

тематическое ожидание квадрата центрированной случайной величины и

54

рассчитывается как сходящийся несобственный интеграл следующего вида:

+∞

∫

D_x= D(X ) = M (X − m_x)²= (x − m_x)²f (x)dx.

−∞

Определение стандартного отклонения. Стандартным отклоне-

нием называют арифметическое значение корня из дисперсии σ_x=

√

D_x.

Из сформулированных определений, доказанных ранее свойств опера-

тора математического ожидания и линейных свойств интеграла следует, что

свойства дисперсии и стандартного отклонения являются общи-

ми для дискретных и непрерывных случайных величин.

Определение квантиля непрерывного распределения.

Квантилем порядка p непрерывного распределения называется дей-

ствительное число x_p, определяемое из уравнения F (x_p) = p .

Значение квантиля x_pнаходится единственным образом, если функция

распределения F (x) строго возрастает на некотором промежутке. Тогда на

этом промежутке для функции распределения F (x) существует обратная

функция F −1₍p) и квантиль x_pнаходится как значение обратной функции

в точке p , т. е. x_p= F −1₍p) .

Среди квантилей чаще всего используются медиана и квартили рас-

пределения. Квантиль порядка p = 0, 5 , как следует из приведенных выше

определений, является медианой, т. е. x₀,5⁼h_x.

Нижним квартилем x₀,25 называют квантиль уровня p = 0, 25 , а

верхним квартилем x₀,75 квантиль уровня p = 0, 75 . Отсюда следует,

что нижний квартиль x₀,25 находится как решение уравнения F (x) = 0, 25 ,

а верхний квартиль x₀,75 как решение уравнения F (x) = 0, 75 .

Определение интерквартильного размаха. Интерквартильным

размахом w₀,5 называется разность между верхним x₀,75 и нижним x₀,25

квартилями, т. е. положительное число

w₀,5⁼x₀,75 − x₀,25^.

Для симметричных относительно медианы распределений положитель-

ную величину E_x, равную половине интерквартильного размаха называют

серединным или вероятным отклонением и вычисляют по формуле

E_x= w₀,5^/2 = (x₀,75 − x₀,25⁾/2.

На отрезке [x₀,25^{, x}0,75^]сосредоточена пятидесятипроцентная доля рас-

пределения, а интерквартильный размах или серединное отклонение исполь-

55

зуются как характеристики рассеяния, особенно в тех случаях, когда диспер-

сия и стандартное отклонение не существуют.

Начальные и центральные моменты для непрерывных случай-

ных величин определяются с помощью оператора математического ожида-

ния в тех же формулировках, что и для дискретных случайных величин.

Отличие состоит в том, что в формулах вычисления указанных моментов

суммы заменяются соответствующими интегралами, которые должны быть

абсолютно сходящимися. Если же какой-либо из интегралов не сходится, то

соответствующий момент не существует.

Коэффициенты асимметрии a_xи эксцесса e_xтакже определя-

ются аналогично дискретному случаю. Коэффициент асимметрии равен нулю

для симметричных относительно медианы и унимодальных функций плот-

ности распределения вероятностей. Если же плотность унимодального рас-

пределения имеет пологую часть справа от моды, а крутую часть слева, то

a_x> 0 . В обратном случае a_x< 0 . Коэффициент эксцесса является характе-

ристикой островершинности плотности распределения. Для нормального рас-

пределения коэффициент эксцесса равен нулю; для плотности распределения

более островершинной, чем нормальное e_x> 0 ; для плотности рапределения

менее островершинной e_x< 0 .