3 Случайные векторы

3.1 Общие свойства случайного вектора

При анализе вероятностных моделей научных, технических, экономиче-

ских и практических задач в большинстве случаев рассматривают совместно

несколько случайных величин. Например, так моделируют результаты на-

блюдений в метрологии, число клиентов в нескольких пунктах массового об-

служивания, координаты цели, размеры деталей в серийном производстве.

Определение случайного вектора.

Многомерной случайной величиной или n - мерным случайным векто-

ром называют систему из n случайных величин, заданных на одном и том

же вероятностном пространстве

XЇ (ω) = (X₁(ω), X₂(ω), . . . , X_n(ω)) , ω ∈ Ω.

Одномерные случайные величины X₁(ω) , X₂(ω) , . . . , X_n(ω) , образую-

щие случайный вектор, называют компонентами случайного вектора.

Полной характеристикой закона распределения случайного вектора яв-

ляется n - мерная или совместная функция распределения F (x₁, x₂, . . . , x_n) .

Определение совместной функции распределения.

Совместной функцией распределения F (x₁, x₂, . . . , x_n) случайных ве-

личин X₁(ω), X₂(ω), . . . , X_n(ω) или n - мерной функцией распределения

F_XЇ (Ї) случайного вектора XЇ (ω) называется вероятность произведения

следующих событий {X₁(ω) < x₁} , {X₂(ω) < x₂} ,. . . , {X_n(ω) < x_n} , т. е.

F_XЇ (Ї) = F (x₁, x₂, . . . , x_n) = P (X₁(ω) < x₁, X₂(ω) < x₂, . . . , X_n(ω) < x_n).

В дальнейшем, с целью более компактного и наглядного представле-

ния результатов, рассматриваются двумерные векторы. Общий случай ис-

следуется аналогично. Так двумерная функция распределения, по общему

определению, равна вероятности попаданий значений двумерного вектора в

неограниченные ѕюго-западныеї квадранты с вершинами в точках (x; y)

F_X,Y(x, y) = P (X (ω) < x, Y (ω) < y) , (x, y) ∈ R².

Отметим, что и в данной формуле, и ранее для обозначения произведе-

ния событий под знаком вероятности используется запятая, как это принято

в большинстве учебных пособий по теории вероятностей.

Свойства функции распределения случайного вектора во мно-

гом аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной

величины и приводятся ниже для двумерного случая.

73

1. Значения совместной функции распределения заключены между ну-

лем и единицей

0 ≤ F (x, y) ≤ 1, (x; y) ∈ R².

Данное свойство вытекает непосредственно из определения совместной

функции распределения, поскольку она задана как вероятность события и

поэтому всегда заключена между нулем и единицей.

2. Совместная функция распределения F (x, y) является неубывающей

функцией по каждому из своих аргументов:

F (x₂, y) ≥ F (x₁, y), x₂> x₁,

F (x, y₂) ≥ F (x, y₁), y₂> y₁.

Данное свойство доказывается аналогично одномерному случаю.

3. Если один из аргументов стремится к минус бесконечности, то

совместная функция распределения стремится к нулю:

lim

x→−∞

F (x, y) = F (−∞, y) = 0,

lim

y→−∞

F (x, y) = F (x, −∞) = 0.

Действительно, поскольку события {X (ω) < −∞} , {Y (ω) < −∞} яв-

ляются невозможными, а произведение невозможного события и любого дру-

гого события также невозможно, то справедливы следующие равенства:

F (−∞, y) = P (X (ω) < −∞, Y (ω) < y) = P (∅ ∩ {Y (Ї ) < y}) = P (∅) = 0.

Аналогично доказывается второе равенство.

4. Если все аргументы стремятся к плюс бесконечности, то совмест-

ная функция распределения стремится к единице

lim

x,y→+∞

F (x, y) = F (+∞, +∞) = 1.

События {X (Ї ) < +∞} , {Y (Ї ) < +∞} и их произведение достовер-

ны. Отсюда следует доказательство данного свойства.

5. Двумерная функция распределения непрерывна слева по каждому

из своих аргументов.

Данное свойство доказывается аналогично одномерному случаю.

6. Функция распределения любой компоненты случайного вектора на-

ходится по функции их совместного распределения путем предельного пе-

рехода к плюс бесконечности по всем другим аргументам:

F_X(x) = lim

y→+∞

F_X,Y(x, y) = F_X,Y(x, +∞),

74

F_Y(y) = lim

x→+∞

F_X,Y(x, y) = F_X,Y(+∞, y).

Действительно, событие {Y (ω) < +∞} достоверно, поэтому

F_X,Y(x, +∞) = P ({X (ω) < x} ∩ Ω) = P (X (ω) < x) = F_X(x).

Аналогично доказывается равенство относительно второй компоненты

F_X,Y(+∞, y) = P (Ω ∩ {Y (ω) < y}) = P (Y (ω) < y) = F_Y(y).

Приведенные в данном пункте формулы вычисления функций распре-

деления отдельных компонент называют условиями согласованности .

Отметим, что из одномерных функций распределения компонент в об-

щем случае нельзя получить функцию распределения двумерной случайной

величины. Таким образом, двумерная функция распределения несет значи-

тельно больше информации чем две одномерные функции распределения

компонент. В частности, рассматривая случайные величины X, Y порознь, а

не совместно нельзя определить зависимы они или независимы.

Теорема (о вероятности попадания в прямоугольник).

Вероятность попадания двумерного случайного вектора (X, Y ) в пря-

моугольник [x₁; x₂) Ч [y₁; y₂) со сторонами, параллельными осям координат

вычисляется с помощью совместной функции распределения по формуле

P {x₁≤ X < x₂, y₁≤ Y < y₂} = F (x₂, y₂) − F (x₁, y₂) − F (x₂, y₁) + F (x₁, y₁).

Доказательство. Сначала определим вероятность попадания в по-

лосу {x < x₂, y₁≤ y < y₂} . Так как квадрант {x < x₂, y < y₂} равен объ-

единению данной полосы и меньшего квадранта {x < x₂, y < y₁} , причем

данные множества не пересекаются между собой, то вероятность попадания

в полосу {x < x₂, y₁≤ y < y₂} вычисляется по формуле

P {x < x₂, y₁≤ y < y₂} = F (x₂, y₂) − F (x₂, y₁).

Аналогично находится вероятность попадания в меньшую полосу

P {x < x₁, y₁≤ y < y₂} = F (x₁, y₂) − F (x₁, y₁).

Так как прямоугольник есть разность большей и меньшей полос, то,

вычитая из верхней формулы нижнюю, получим выводимую формулу.

Решения многих практических задач с применением случайных векто-

ров значительно упрощаются, если его компоненты являются независимыми

случайными величинами. Часто независимость следует из постановки задачи.

В общем случае, требуется аналитическая проверка условий независимости.

75

Определение независимости компонент случайного вектора.

Компоненты X₁(ω), X₂(ω), . . . , X_n(ω) n -мерного случайного вектора XЇ (ω)

называются независимыми, если взаимно независимы любые n событий

{X₁(ω) ∈ B₁}, {X₂(ω) ∈ B₂}, . . . , {X_n(ω) ∈ B_n} ; B₁, B₂, . . . , B_n∈ R.

Если же данное условие не выполняется хотя бы для одной указанной си-

стемы событий, то компоненты называются зависимыми.

Теорема (о независимости компонент случайного вектора).

Для независимости компонент X₁(ω), X₂(ω), . . . , X_n(ω) случайного векто-

ра XЇ (ω) необходимо и достаточно, чтобы совместная функция распреде-

ления была равна произведению функций распределения компонент

F_X1,X₂,...,X_n(x₁, x₂, . . . , x_n) = F_X1⁽x₁) · F_X2⁽x₂) · · · · · F_Xn⁽x_n).

Необходимость условия теоремы непосредственно следует из опре-

деления независимости компонент X₁(ω), X₂(ω), . . . , X_n(ω) случайного век-

тора. Функции распределения компонент равны вероятностям событий сле-

дующего вида {X₁< x₁}, {X₂< x₂}, . . . , {X_n< x_n} . Отсюда следует, что

F_X1⁽x₁) · F_X2⁽x₂) · · · · · F_Xn⁽x_n) = P (X₁< x₁) · P (X₂< x₂) · · · · · P (X_n< x_n) .

Совместная функция распределения равна вероятности произведения

событий {X₁< x₁}, {X₂< x₂}, . . . , {X_n< x_n} , т. е. справедливо равенство

F_X1,X₂,...,X_n(x₁, x₂, . . . , x_n) = P (X₁< x₁, X₂< x₂, . . . , X_n< x_n).

Так как по условию необходимости предполагается независимость ком-

понент случайного вектора, то справедливо равенство

P (X₁< x₁, X₂< x₂, . . . , X_n< x_n) = P (X₁< x₁)·P (X₂< x₂) ·· · ··P (X_n< x_n),

из которого и следует доказываемое утверждение.

Доказательство достаточности условия теоремы основано на пол-

ном изложении теории и приводится в более подробных руководствах.

В частности, для двумерного случайного вектора условие независимо-

сти его компонент (X, Y ) имеет следующий вид:

F_X,Y(x, y) = F_X(x) · F_Y(y).

Если случайные величины X, Y независимы, то общая формула веро-

ятности попадания в прямоугольник упрощается и принимает вид

P {x₁≤ X < x₂, y₁≤ Y < y₂} = (F_X(x₂) − F_X(x₁)) · (F_Y(y₂) − F_Y(y₁)) ,

что позволяет вычислять указанную вероятность не по совместной функции

распределения, а по функциям распределения компонент X, Y .

76