2.2 Дискретная случайная величина

2.2.1 Дискретный закон распределения

Определение. Случайную величину называют дискретной случайной

величиной, если множество её значений конечно или счётно.

Например, число очков, выпавших при бросании игральной кости есть

дискретная конечная случайная величина, так как она принимает только

шесть значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Набор всех возможных значений x_k, k = 1, 2, . . . дискретной случай-

ной величины и соответствующих этим значениям вероятностей задает закон

распределения дискретной случайной величины:

p_k= P (X = x_k), k = 1, 2, . . . .

Если в законе распределения значения дискретной случайной величины упо-

рядочены по возрастанию, то представленную таким образом последователь-

ность пар (x₁, p₁), (x₂, p₂), . . . называют рядом распределения .

32

Отметим, что для вероятностей отдельных значений дискретной слу-

чайной величины справедлива следующая формула:

∑

k

p_k= 1,

в левой части которой рассматривается либо конечная сумма, либо сумма

сходящегося ряда. Данная формула справедлива, так как события

{ω ∈ Ω|X = x_k}, k = 1, 2, . . .

попарно несовместны и в сумме дают пространство Ω , причем P (Ω) = 1 .

Закон распределения дискретной случайной величины, позволяет опре-

делить её функцию распределения в виде

F (x) = P {X < x} = ∑_pk^,

x_k<x

где справа суммируются вероятности тех значений случайной величины, ко-

торые меньше x . Функция распределения дискретной случайной величины

предсталяет собой возрастающую от нуля до единицы непрерывную слева

кусочно-постоянную функцию, имеющую скачки, равные положительной ве-

роятности, в соответствующих значениях случайной величины.

В случае конечного числа значений ряд распределения удобно оформ-

лять в виде таблицы распределения , где в первой строке перечисляют

возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во вто-

рой строке соответствующие этим значениям вероятности.

График ряда распределения называют многоугольником или поли-

гоном распределения и изображают в виде точек (x_k, p_k), k = 1, 2, . . . в

прямоугольной системе координат.

Пример. Достаточно простым, но теоретически важным и широко рас-

пространенным в практических приложениях примером конечной дискрет-

ной случайной величины является случайная величина, имеющая распре-

деление Бернулли. В частности, распределение Бернулли имеет индика-

тор I (ω) некоторого события A , равный единице для всех элементов

из множества A , и нулю для элементов вне множества A . В таблице ря-

да распределения индикатора события значению ѕединицаї ставится в соот-

ветствие вероятность p(A) события A в данном опыте, а значению ѕнольї

соответствует вероятность p( Ї) противоположного события AЇ . Распределе-

ние Бернулли появляется также при проведении одного испытания по схеме

ѕУспех-Отказї, когда рассматривают случайную величину: ѕЧисло успехов

при одном испытанииї. При этом вероятность ѕУспехаї обычно обозначают

33

буквой p , а вероятность ѕОтказаї буквой q , причем q = 1 − p . Распре-

деление Бернулли имеет один параметр p . Изменяя конкретные числовые

значения параметра p , мы переходим от одного конкретного распределения

Бернулли к другому. Например, так анализируется задача о числе выигры-

шей по одному лотерейному билету или задача о выпадении ѕГербаї или

ѕРешеткиї при однократном бросании монеты.

Приведем таблицу ряда распределения Бернулли в общем случае и при

значении параметра p , равном 0, 7 . Соответственно, q = 1 − p = 0, 3 .

X 0 1 0

1

P q p 0, 3 0, 7

Построим функцию конкретного распределения Бернулли при p = 0, 7 .

По определению данная функция распределения должна возрастать от нуля

до единицы, имея скачки, равные 0, 3 и 0, 7 в узлах 0 и 1 :



 0,x0,

F (x) =





0, 3, 0 < x ≤ 1,

 ,

x > 1.