2.4 Функция от случайной величины

Решая научные и практические задачи, часто необходимо рассматри-

вать разнообразные функции от исходной случайной величины. Пусть на

пространстве Ω задана некоторая произвольная случайная величина X (ω) .

Возьмем некоторую допустимую числовую функцию ψ(x) , позволяющую по-

строить новую случайную величину Z (ω) как композицию функций X (ω) и

ψ(x) по правилу Z (ω) = ψ [X (ω)] . Новую случайную величину Z (ω) назы-

вают функцией от случайной величины X (ω) .

Любая функция от дискретной случайной величины также является

дискретной, так как мощность множества значений новой случайной величи-

ны не может быть больше мощности множества значений исходной случайной

величины. Ряд распределения новой дискретной случайной величины стро-

ится таким образом, что каждому возможному значению ряда соответствует

вероятность, равная сумме вероятностей тех значений исходной случайной

величины, которые преобразовались в данное новое значение.

Таким образом, если в некоторое значение z_kпреобразуется только од-

но значение x_i, то P (Z = z_k) = P (X = x_i) . Если же в значение z_kпре-

образуются несколько значений X , то соответствующие данным значениям

вероятности суммируются P (Z = z_k) = ∑ P (X = x_i) .

68

Пример. Пусть исходная случайная величина X имеет дискретно-

равномерное распределение P (X = k) = 1/10, k = 0, 1, 2, . . . , 9 , а новая

случайная величина Z строится по правилу Z = (X − 5)².

В соответствии с указанным алгоритмом ряд распределения новой слу-

чайной величины Z имеет вид, представленный в следующей таблице.

Z 0

1

4

9

16

25

P 1/10 2/10 2/10 2/10 2/10 1/10

Функция распределения и все основные числовые характеристики но-

вой случайной величины Z находятся по ее ряду распределения по общим

для всех дискретных случайных величин правилам.

Отметим, что вычисление математического ожидания функции от дис-

кретной или непрерывной случайной величины более удобно выполнять непо-

средственно по законам распределения вероятностей исходной случайной ве-

личины X (ω) без предварительного определения закона распределения но-

вой случайной величины Z (ω) . Приведем без доказательства теорему, кото-

рая обосновывает возможность применения такого алгоритма.

Теорема (о математическом ожидании функции от случайной

величины ). Если X (ω) является дискретной случайной величиной с зако-

ном распределения P (X = x_k) = p_k; k = 1, 2, . . . , n или k ∈ N или непрерыв-

ной случайной величиной с плотностью распределения вероятностей f (x)

и задана некоторая допустимая числовая функция ψ(x) , то математи-

ческое ожидание новой случайной величины Z (ω) = ψ [X (ω)] вычисляется

либо как конечная сумма или сумма абсолютно сходящегося ряда, либо как

абсолютно сходящийся интеграл по одной из следующих формул:

+∞

∫

m_z= M [ψ(X )] = ∑ ψ(x_k) p_k, m_z= M [ψ(X )] = ψ(x) f (x) dx.

k

−∞

Данная теорема используется также при определении дисперсии, а так-

же начальных и центральных моментов случайных величин.

В зависимости от вида множества значений преобразующей функции

ψ(x) функция от непрерывной случайной величины может быть как непре-

рывной, так и дискретной. Покажем, как определяется функция распределе-

ния F_Z(z) новой случайной величины Z (ω) = ψ [X (ω)] , если заданы функ-

ция распределения F_X(x) исходной случайной величины непрерывного типа

и допустимая преобразующая функция ψ(x) .

69

По общему определению функции распределения имеем:

F_Z(z) = P (Z < z) = P (ϕ(X ) < z) .

Вероятность в правой части формулы всегда выражается через функ-

цию распределения F_X(x) исходной случайной величины.

В частности, если функция ψ строго монотонна, то она имеет обратную

функцию ψ−1 , причем, если функция ψ строго возрастает, то и функция ψ−1

строго возрастает, что позволяет найти функцию распределения F_Z(z) в виде

F_Z(z) = P (ψ(X ) < z ) = P⁽X < ψ−1₍z) = F_X(ψ−1₍z) .

Если же функция ψ строго убывает, то и обратная функция ψ−1 строго

убывает, так что функция распределения F_Z(z) вычисляется по формуле

F_Z(z) = P (ψ(X ) < z) = P⁽X > ψ−1₍z) = 1 − F_X(ψ−1₍z) .

Если преобразующая функция ψ(x) строго возрастает и дифференци-

руема, то плотность распределения f (z) новой случайной величины находит-

ся как сложная производная от функции распределения F_X(x) и выражается

через плотность распределения f_X(x) исходной случайной величины

0

[

0

0

0

f_Z(z) = F_z(z) =

F_X(ψ−1₍z)^]

x

· (ψ−1₍z)

z⁼f_X

(ψ−1₍z) ·⁽ψ−1₍z)

z^.

Аналогично, для строго убывающей и дифференцируемой функции ψ(x)

0 0

0 [

f_Z(z) = F_z(z) = 1 − F_X(ψ−1₍z)^]x^·(ψ−1₍z)_z= −_fX⁽ψ−1₍z) ·⁽ψ−1₍z)

0

z^.

Так как производная от строго убывающей функции всюду отрицательна, то

обе формулы можно объединить в одну общую формулу:

0

f_Z(z) = f_X(ψ−1₍z) ·⁽ψ−1₍z)_z.

Пример. Рассмотрим линейное преобразование Z = aX + b , a6= 0

непрерывной случайной величины X с функцией распределения F_X(x) и

плотностью f_X(x) . Функция распределения F_Z(z) новой случайной величи-

ны при положительном угловом коэффициенте a > 0 находится с помощью

преобразований, относящихся к строго возрастающей функции ψ(x)

(_z− b

F_Z(z) = P^}X < ψ−1₍z)^{= F_X(ψ−1₍z) = F_X

a

.

При a < 0 линейная функция убывает, так, что используя общие преобразо-

вания, получим следующие формулы:

F_Z(z) = P (Z < z) = P (aX + b < z) = P

70

(

X >

z − b

a

=

= 1 − P

(

X ≤

z − b

a

= 1 − F_X

( z − b

a

.

Плотность распределения линейно преобразованной случайной величины X

вычисляется по общей формуле в следующем виде:

0

f_Z(z) = f_X(ψ−1₍z) ·⁽ψ−1₍z)_z= f_X

( z − b

a

·¹

|a|^.

Определение типа распределения. Распределения F_X(x) и F_Z(z)

случайных величин X (ω) и Z (ω) называются однотипными, если найдется

такое линейное преобразование Z = aX + b , a6= 0 , что распределения

случайных величин X (ω) и Z (ω) совпадают.

Ранее было показано, что линейное преобразование Z = (X − m_x)/σ_x

приводит нормально распределенную случайную величину с параметрами µ

и σ к стандартной нормальной случайной величине. Это означает, что все

нормально распределенные случайные величины относятся к одному типу

распределения. Данное утверждение справедливо также для любого пара-

метрически заданного семейства распределений, имеющих математическое

ожидание и дисперсию.

Ниже рассматривается пример, показывающий, в частности, что нели-

нейное преобразование может изменить тип распределения.

Пример. Пусть задан квадрат Z = X²непрерывной случайной ве-

личины X , имеющей функцию распределения F_X(x) и плотность f_X(x) .

Случайная величина Z = X²принимает неотрицательные значения и при

z > 0 функция распределения F_Z(z) находится с помощью преобразований:

F_Z(z) = P (Z < z) = P {X²< z} =

√

√

√

√

= P {− z < X <

z} = F_X(

z) − F_X(−

z).

Отсюда, плотность распределения случайной величины Z выражается

через плотность распределения случайной величины X по формуле

0

0

√

1

0

√

1

1

√

√

f_Z(z) = F_Z(z) = F_X(

z)·

√

2 z

+F_X(−

z)·

√

2 z

=

√

2 z

(_fX⁽

z) + f_X(−

z) .

При z ≤ 0 по определению функции распределения получим:

F_Z(z) = P (Z < z) = P (∅) = 0, f_Z(z) = F_Z0₍z) = 0.

Если исходная случайная величина распределена по стандартному нор-

мальному закону с плотностью вероятностей

1

f_X(x) = √

2π

71

x²

e−₂,

то плотность распределения Z = X²находится по общей формуле в виде

1

√

√

1

z

f_Z(z) =

√

2 z

(_fX

z + f_X(−

z) = √

2πz

e−₂, z > 0; f_Z(z) = 0, z ≤ 0

и называется плотностью ѕхи-квадратї распределения с одной сте-

пенью свободы .

Пример. Пусть непрерывная случайная величина X (ω) имеет функ-

цию распределения F_X(x) и положительную плотность вероятности f_X(x).

Зададим новую случайную величину Z(ω) = F_X(X (ω)) , используя в каче-

стве преобразующей функции ψ(x) функцию распределения F_X(x) исходной

случайной величины X (ω) . В силу сделанных предположений новая случай-

ная величина принимает значения от 0 до 1 и имеет функцию распределения:

F_Z(z) = 0, z < 0; F_Z(z) = F_X(F_X−1₍z)) = z, 0 ≤ z ≤ 1; F_Z(z) = 1, z > 1.

Таким образом, новая случайная величина Z (ω) = F_X(X (ω)) распределена

равномерно на отрезке [0, 1]. Полученный результат находит широкое приме-

нение в математической статистике.

Если в оговоренных выше условиях в качестве преобразующей функции

выбрать функцию F_X−1₍x) , обратную некоторой заданной функции распреде-

ления F_X(x) , а в качестве исходной случайной величины R(ω) рассмотреть

равномерно распределенную на отрезке [0, 1], то новая случайная величи-

на Z (ω) = F_X−1₍R(ω)) будет иметь распределение F_Z(z) любого требуемого

вида, так как справедлива формула F_Z(z) = F_R(F_X(z)) = F_X(z) .

Данный алгоритм находит применение при моделировании непрерыв-

ных случайных величин с заданной функцией распределения. Действительно,

большинство используемых генераторов случайных чисел на первом этапе со-

здают случайные числа, равномерно распределенные в диапазоне от нуля до

единицы. Если, как указано выше, данные случайные числа {r_i} преобразо-

вать в новые случайные числа {z_i} с помощью функции F_X−1₍r_i) , то они

будут иметь требуемую функцию распределения F_X(z) .

72