1.3 Классическая схема вычисления вероятностей

Классическая схема вычисления вероятностей является математической

моделью равновозможных опытов, в которых нет оснований считать какой-

либо исход более предпочтительным, чем любой другой. Предположение об

одинаковой возможности исходов обычно выполняется при организации раз-

ного рода игр, лотерей, выборочного статистического контроля и т. д.

В данной схеме пространство элементарных событий Ω конечно и со-

стоит из n равновероятных исходов. Тогда вероятность каждого исхода равна

1/n и, следовательно, сумма вероятностей всех исходов равна единице.

Определим вероятность любого события A ⊂ Ω как сумму вероятно-

стей тех исходов, которые входят в A . Все аксиомы теории вероятностей вы-

полняются при такой схеме задания вероятностей событий, и, соответственно,

выполняются все выводы, которые следуют из аксиом. Данную конечную схе-

му вычисления вероятностей называют классической , а вероятность любого

события A ⊂ Ω находят по формуле классической вероятности

N (A)

P (A) = ,

N (Ω)

где буквой N обозначено число элементов в множестве.

Таким образом, вероятность любого случайного события в классиче-

ской схеме равна отношению числа исходов, благоприятствующих появлению

этого события, к общему числу элементарных исходов.

Пример. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру

и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через A событие: ѕНабрана нужная цифраї.

Абонент мог набрать любую из десяти цифр, поэтому общее число элементар-

ных исходов равно десяти. Эти исходы несовместны и равновероятны. При-

меняя формулу классической вероятности, отнесем число исходов благопри-

ятствующих событию A (нужная цифра лишь одна) к общему числу воз-

можных исходов (десять) и получим искомую вероятность P (A) = 0, 1 .

11

При решении многих задач с использованием классической схемы часто

оказываются полезными различные комбинаторные формулы.

1.3.1 Декартово произведение множеств и правило умножения

Пусть заданы два множества A и B с произвольным числом элементов

любой природы в каждом множестве. Образуем новое множество D , состо-

ящее из таких упорядоченных пар (a, b) , что первый элемент пары a выби-

рается из первого множества, а второй b из второго множества, т. е.

D = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.

Это новое множество называется прямым или декартовым произведе-

нием множеств A и B и обозначается A Ч B .

Пример. Имея множества A = {1; 2} и B = {α; β} , можно образо-

вать декартовы произведения следующего вида:

D₁= A Ч B = {(1, α); (1, β); (2, α); (2, β)},

D₂= B Ч A = {(α, 1); (α, 2); (β, 1); (β, 2)}.

Как видно из примера, декартово произведение не обладает свойством ком-

мутативности. Свойство коммутативности выполняется только для равных

между собой множеств. В этом случае декартово произведение D = AЧA на-

зывают декартовым квадратом и обозначают A². Например, декартов квад-

рат R²есть множество (x, y) всех упорядоченных пар действительных чи-

сел, которые изображаются в декартовой системе координат в виде точек на

плоскости. Эта связь и обусловила название: ѕДекартово произведениеї.

Если дана система множеств A₁, A₂, . . . , A_n, то декартово произведение

состоит из упорядоченных наборов вида (a₁, a₂, . . . , a_n) , т. е.

A₁Ч A₂Ч · · · Ч A_n= {(a₁, a₂, . . . , a_n)|a₁∈ A₁, a₂∈ A₂, . . . , a_n∈ A_n}.

В том случае, когда сомножители декартова произведения являются конеч-

ными множествами, можно непосредственно подсчитать, что число упорядо-

ченных наборов (a₁, a₂, . . . , a_n) в декартовом произведении равно произведе-

нию чисел элементов в каждом из множеств, т. е. справедлива формула:

N (A₁Ч A₂Ч · · · Ч A_n) = N (A₁) · N (A₂) · · · · · N (A_n).

Данную формулу широко используют в комбинаторном анализе и обычно

называют принципом умножения .

12

В частности, в рассмотренном ранее примере исходных множеств всего

два и каждое содержит по два элемента, так что в декартовом произведении

содержится четыре элемента.

В том случае, когда рассматривают схемы выбора некоторого числа эле-

ментов из любого конечного множества, правило умножения и правило

сложения при выборе двух элементов формулируют следующим образом.

Правило умножения. Если из конечного множества первый эле-

мент a₁можно выбрать n₁способами, а второй элемент a₂можно вы-

брать n₂способами, то оба элемента (a₁, a₂) в указанном порядке можно

выбрать n₁· n₂способами.

Правило сложения. Если из некоторого конечного множества пер-

вый элемент a₁можно выбрать n₁способами, а второй элемент a₂мож-

но выбрать n₂способами, то хотя бы один из этих элементов (a₁или a₂)

можно выбрать n₁+ n₂способами.

Правила умножения и сложения справедливы для любого конечного

числа (два и более) выбираемых элементов.