2.3 Непрерывные случайные величины

2.3.1 Функция распределения и плотность распределения

Множеством значений случайной величины непрерывного типа явля-

ется некоторый числовой промежуток или вся числовая ось. Закон распре-

деления данной случайной величины удобно задавать с помощью плотности

распределения вероятностей аналогично плотности распределения вещества

в физике. Конкретными примерами случайных величин непрерывного типа

являются ошибки округления в вычислительной математике, результаты из-

мерений в физике и технике, время безотказной работы в теории надежности,

время ожидания в теории массового обслуживания.

Определение непрерывной случайной величины. Случайная ве-

личина X называется непрерывной, если её область значений является

промежутком на вещественной оси и существует такая неотрицатель-

ная, интегрируемая по Риману в бесконечных пределах функция f (x) , на-

зываемая плотностью распределения вероятностей, что для любого дей-

ствительного числа x можно определить функцию распределения вероят-

ностей F (x) с помощью интеграла следующего вида:

x

∫

F (x) =

−∞

f (t)dt.

Плотность распределения наглядно представляет законы распределе-

ния непрерывных случайных величин и позволяет легко отличать одно рас-

пределение от другого распределения.

51

Основные свойства плотности распределения вероятностей.

1. Плотность распределения вероятностей задана и неотрицательна

на всей числовой оси, т. е. f (x) ≥ 0, x ∈ R .

2. Для любой плотности распределения вероятностей выполняется

+∞

условие нормировки, т. е.

∫

−∞

f (x)dx = 1 .

Действительно, учитывая, что F (−∞) = 0, F (+∞) = 1 , получим

+∞

∫

f (x)dx = F (+∞) − F (−∞) = 1 − 0 = 1.

−∞

Условие нормировки часто используют для того, чтобы найти конкретное

значение константы, входящей в формулу некоторой неотрицательной, инте-

грируемой по Риману функции, и в дальнейшем рассматривать эту функцию

в качестве плотности распределения вероятностей.

3. Функция распределения непрерывной случайной величины являет-

ся непрерывной функцией. Если, дополнительно, плотность распределения

непрерывна в некоторой точке x , то функция распределения F (x) есть

первообразная f (x) , т. е. F (x) дифференцируема и справедливо равенство

F⁰(x) = f (x).

Свойство 3 следует из известной теоремы анализа о том, что интеграл с пере-

менным верхним пределом является непрерывной функцией. Если подынте-

гральная функция f (x) непрерывна в некоторых точках, то функция распре-

деления F (x) дифференцируема в данных точках, причем в точках непре-

рывности f (x) выполняется условие F⁰(x) = f (x) .

Таким образом, функция распределения случайной величины непре-

рывного типа F (x) является непрерывной функцией. Кроме того, на любом

промежутке непрерывности плотности распределения f (x) функция распре-

деления является первообразной плотности распределения.

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на про-

межуток [a; b) может быть выражена как в виде приращения функции

распределения F (x) на отрезке [a; b] , так и в виде определенного интегра-

ла от плотности распределения f (x) , т. е.

P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a) =

b

∫

f (t)dt −

a

∫

f (t)dt =

∫

b

f (x)dx.

−∞

52

−∞

a

В отличие от дискретного распределения для непрерывного распределения

не важен характер неравенств, задающих промежутки от точки a до точ-

ки b , так как вероятность ѕпопасть в точкуї в данном случае равна нулю.

Действительно, в силу непрерывности функции распределения непрерывной

случайной величины при всех x₀∈ R справедливы равенства

P (X = x₀) = lim

∆x→0

P {x₀≤ X < x₀+ ∆x} = lim [F (x₀+ ∆x) − F (x₀)] = 0.

∆x→0

Для функции распределения непрерывной случайной величины выпол-

няются все те свойства, которые справедливы для любой случайной вели-

чины. Дополнительно утверждается, что функция распределения непре-

рывной случайной величины является непрерывной функцией .