3.2 Случайные векторы дискретного типа

Определение дискретного случайного вектора.

Двумерный случайный вектор X, Y называют дискретным, если мно-

жество его возможных значений конечное или счетное.

Перечень возможных значений {x_i, y_j} двумерного случайного вектора

и соответствующих каждой такой паре вероятностей p_ij= P {X = x_i, Y = y_j}

называют законом распределения дискретного случайного вектора .

При этом всегда должно выполняться условие нормировки

∑ ∑

p_ij= 1,

i

j

где суммирование проводится по всем возможным значениям индексов i, j .

В качестве практических задач, которые моделируются двумерными

дискретными случайными векторами можно назвать:

1. Случайный вектор (X, Y ) , где X – число деталей, изготовленных на

первом станке, а Y – число деталей, изготовленных на втором станке.

2. Случайный вектор (X, Y ) , где X – число запросов, поступивших за опре-

деленное время в первую систему массового обслуживания, а Y – число

запросов, поступивших во вторую систему обслуживания.

Функция распределения дискретного случайного вектора находится по

его закону распределения. Для этого необходимо для всех возможных зна-

чений (x, y) плоскости R²найти суммы тех вероятностей p_ij, для которых

выполняются условия x_i< x , y_j< y . Таким образом, получим формулу:

F_X,Y(x, y) = ∑

∑

p_ij.

i:x_i<x j:y_j<y

Пусть E есть множество всех возможных значений двумерного слу-

чайного вектора дискретного типа. Тогда вероятность любого дискретного

события G ⊂ E вычисляется по формуле

P {(X, Y ) ∈ G} = ∑ ∑_pij^,

i

j

где суммирование идет по тем индексам (i, j ) , для которых (x_i, y_j) ∈ G .

Данная формула позволяет по закону распределения двумерной дис-

кретной случайной величины получить одномерные дискретные законы рас-

пределения каждой компоненты в следующем виде:

p_i= P {X = x_i} = ∑_pij⁼p_i∗, p_j= P {Y = y_j} = ∑_pij⁼p∗j^.

j

77

i

Приведенные выше условия обычно называют условиями согласованно-

сти для двумерного дискретного случайного вектора.

Отметим, что обратная задача определения закона распределения дву-

мерной случайной величины по известным законам распределения соответ-

ствующих одномерных величин решается только для независимых случайных

величин, что вытекает из следующей теоремы.

Теорема (о независимости дискретных случайных величин).

Случайные величины дискретного типа X (ω) , Y (ω) независимы

тогда и только тогда, когда при любых i, j справедливы равенства

P {X = x_i, Y = y_j} = P {X = x_i} · P {Y = y_j}

или, используя ранее принятые обозначения, ∑_jp_ij= p_i∗, ∑_ip_ij= p∗j

p_ij= p_i∗^·p∗j^.

Необходимость условия теоремы непосредственно следует из опре-

деления независимости случайных величин.

Достаточность условия теоремы доказывается следующим обра-

зом. Функция распределения двумерного дискретного случайного вектора в

случае выполнения условий теоремы представима в следующем виде:

F (x, y) = ∑

∑_pij = ∑

∑_pi∗^·p∗j = ∑_pi∗ ∑

p∗j = F_X(x)· F_Y(y ).

i:x_i<x j:y_j<y

i:x_i<x j:y_j<y

i:x_i<x

j:y_j<y

Отсюда и общей теоремы о независимости случайных величин следует

доказательство достаточности условия данной теоремы.

Рассмотрим, как вводятся наиболее распространенные числовые харак-

теристики для векторных случайных величин.

Предварительно без доказательства приведем общую формулу вычис-

ления математического ожидания случайной величины ψ(X, Y ) , которая яв-

ляется функцией двумерного дискретного случайного вектора XЇ = (X, Y ) :

M [ψ(X, Y )] = ∑ ∑ ψ(x_i, y_j) · p_ij.

i

j

Из данной формулы непосредственно выводится линейное свойство ма-

тематического ожидания для двух дискретных случайных величин.

Если данную формулу распространить на дискретный случайный век-

тор размерности n , то из нее выводится утверждение о том, что математи-

ческое ожидание линейной комбинации случайных величин равно

78

линейной комбинации их математических ожиданий

M

n

∑

k=1

a_kX_k

!

=

n

∑

k=1

a_kM (X_k).

Непосредственно из определения математического ожидания следует

утверждение о том, что математическое ожидание неотрицатель-

ной случайной величины также неотрицательно:

X (ω) ≥ 0 ⇒ M (X (ω)) ≥ 0.

Это позволяет доказать свойство монотонного неубывания опе-

ратора математического ожидания

X (ω) ≥ Y (ω) ⇒ M (X (ω)) ≥ M (Y (ω)) .

Действительно, в этом случае X ((Ї)) − Y ((Ї)) ≥ 0 и, следовательно,

M (X − Y ) = M (X ) − M (Y ) ≥ 0 , т. е. M (X ) ≥ M (Y ) .

При условии, что компоненты случайного вектора независимы, выво-

дится формула вычисления математического ожидания произве-

дения двух независимых дискретных случайных величин в виде

M (X · Y ) = M (X ) · M (Y ).

Действительно, в случае независимости компонент справедливо равен-

ство p_ij= p_i∗^·p∗j , которое позволяет выполнить следующие преобразования:

M (X · Y ) = ∑ ∑_xi^yj^pij⁼∑ ∑_xi^yj⁽p_i∗^·p∗j^{) =}

i

j

i

j

= ∑_xi^pi∗^·∑_yj^p∗j⁼M (X ) · M (Y ).

i

j

Аналогичный вид имеет формула математического ожидания произве-

дения нескольких независимых дискретных случайных величин.

Для двумерного дискретного случайного вектора X, Y вычисляют сле-

дующие числовые характеристики .

1. Математическое ожидание компоненты X :

m_x= M (X ) = ∑ ∑_xi^·p_ij= ∑_xi^·p_i∗ .

i

j

i

2. Математическое ожидание компоненты Y :

m_y= M (Y ) = ∑ ∑_yj^·p_ij= ∑

y_j· p∗j^.

i

j

79

j

3. Дисперсию и стандартное отклонение компоненты X :

D_x= M^[(X − m_x)²]₌∑ ∑₍x_i−m_x)²p_ij= ∑₍x_i−m_x)²p_i∗, σ_x= Ⲛ_Dx^.

i

j

i

4. Дисперсию и стандартное отклонение компоненты Y :

D_y= M^[(Y − m_y)²]₌∑ ∑₍y_j−m_y)²p_ij= ∑

(y_j−m_y)²p∗j , σ_y= Ⲛ_Dy^.

i

j

j

5. Ковариацию двух случайных компонент X, Y :

K_xy= M ((X − m_x) · (Y − m_y)) = ∑ ∑

(x_i− m_x)(y_j− m_y) · p_ij.

i

j

Двумерный вектор (m_x, m_y) называют математическим ожиданием

или центром рассеивания случайного вектора X, Y .

Используя свойства математического ожидания, выводят более удобные

при конкретных расчетах формулы вычисления дисперсий и ковариации:

D_x= M (X²) − m²x^,D_y= M (Y²) − m²y^,K_xy= M (XY ) − m_x· m_y.

Опираясь на свойства математического ожидания и приведенные выше

определения характеристик двумерного случайного вектора, найдем диспер-

сию суммы его компонент X + Y в виде

D(X + Y ) = D_x+ D_y+ 2K_xy,

предварительно выполнив следующие преобразования:

D(X + Y ) = M^[(X + Y )²] − [M (X + Y )]²=

= M (X²) + 2M (XY ) + M (Y²) − m²x − 2m_xm_y− m²y⁼

=^[M (X²) − m²x^]+^[M (Y²) − m²y^]+ 2[M (XY ) − m_xm_y] = D_x+ D_y+ 2K_xy.

Аналогично выводится общая формула дисперсии линейной комбина-

ции случайных величин aX + bY ; a, b ∈ R в следующем виде:

D(aX + bY ) = a²D_x+ b²D_y+ 2abK_xy.

Так как величина ковариации зависит от единиц измерения, то приме-

нение ковариации в качестве меры связи между случайными величинами X

и Y не всегда удобно. Поэтому в качестве меры связи случайных величин X

80

и Y обычно используют безразмерную характеристику, называемую коэффи-

циентом корреляции. Коэффициент корреляции в случае существования

дисперсий D_xи D_yвычисляется по следующей формуле:

ρ_xy= √

K_xy

=

K_xy

.

D_x· Ⲛ_Dy

σ_xσ_y

Коэффициент корреляции определяет степень линейной зависимости

между случайными величинами и удовлетворяет условию нормировки

−1 ≤ ρ_xy≤ 1.

Для вывода условия нормировки вычислим дисперсию линейной комбинации

Y −tX случайных величин X, Y по формуле D(Y −tX ) = D_y−2t·K_xy+t²D_x,

где t рассматривается как числовая переменная. Правая часть данной фор-

мулы является квадратной функцией относительно переменной t . Эта функ-

ция неотрицательна, так как дисперсия любой случайной величины неотри-

цательна. В этом случае дискриминант уравнения D_xt²− 2K_xyt + D_y= 0

удовлетворяет условию K_xy2 − D_x· D_y≤ 0 . Из этого неравенства следует:

|K_xy| ≤ Ⲛ_Dx^·Ⲛ_Dy , −Ⲛ_Dx^·Ⲛ_Dy ≤ K_xy≤ Ⲛ_Dx^·Ⲛ_Dy .

√

Поделив неравенства на величину

D_x· Ⲛ_Dy , получим, окончательно,

доказываемое свойство нормированности коэффициента корреляции.

Если случайные величины X, Y связаны линейной зависимостью

Y = aX + b , то коэффициент корреляции равен единице при a > 0 и равен

минус единице, если a < 0 . Действительно, в этом случае:

K_xy= M (XY ) − m_xm_y= M [aX²+ bX ] − m_x(am_x+ b) =

= a^[M (X²) − m²x^]+ b[m_x− m_x] = aD_x, D(Y ) = a²D_x,

ρ_xy= √

K_xy

=

aD_x

√ √

=

a

.

D_x· Ⲛ_Dy

|a|

D_x

D_x

|a|

Таким образом, при a > 0 получаем ρ_xy= 1 , а при a < 0 имеем ρ_xy= −1 .

Случайные величины X, Y , для которых коэффициент корреляции ра-

вен нулю, называют некоррелированными. В обратном случае, т. е. при

ρ_xy6= 0 , случайные величины называют коррелированными . Ковариация

и коэффициент корреляции являются в определенной степени мерой зависи-

мости или независимости случайных величин.

Теорема (о некоррелированности независимых компонент).

Если случайные величины X и Y являются независимыми, то их

ковариация и коэффициент корреляции равны нулю.

81

Доказательство. Для независимых случайных величин X и Y вер-

но равенство M (X · Y ) = M (X ) · M (Y ) . Отсюда и из формул вычисления

ковариации и коэффициента корреляции следует:

K_xy= M (XY ) − m_x· m_y= M (X ) · M (Y ) − m_x· m_y= 0, ρ_xy= 0.

По закону контрпозиции из данной теоремы следует, что при отличном

от нуля коэффициенте корреляции, т. е. при ρ_xy6= 0 , случайные величины

X , Y обязательно являются зависимыми. Отметим, что из некоррелирован-

ности случайных величин X и Y не следует их независимость, т. е. в тех

случаях, когда ρ_xy= 0 , случайные величины X и Y могут быть как за-

висимыми, так и независимыми, что показывается на конкретных примерах.

Соотношения между ѕзависимостью независимостьюї и ѕкоррелированно-

стью –– некоррелированностьюї случайных величин X и Y представлены

на следующей диаграмме.

Независимые |

Зависимые

Некоррелированные | Коррелированные

Пример. В урне имеются четыре шара с номерами 1, 2, 3, 4 . Из урны

наугад выбирают сразу два шара. Рассмотрим двумерный дискретный слу-

чайный вектор X (ω), Y (ω) . Первую компоненту этого вектора X (ω) опре-

делим как число шаров c четным номером в паре, а вторую компоненту Y (ω)

определим как положительную разность номеров в каждой возможной паре.

1) Найти закон распределения случайного вектора (X (ω), Y (ω)) .

2) Проверить зависимы или нет компоненты X (ω) и Y (ω) .

3) Найти основные числовые характеристики случайного вектора.

4) Вычислить вероятность события {X ≥ Y } .

Решение. Число элементарных событий равно числу сочетаний из че-

тырех по два, а пространство элементарных событий в вероятностной модели

данной задачи имеет вид Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} . Случай-

ная величина X (ω) задана на множестве Ω и, как видно из ее определения,

принимает значения 0, 1, 2 . Соответственно, случайная величина Y (ω) при-

нимает положительные значения 1, 2, 3 .

Так как число значений каждой случайной величины конечное, то закон

распределения двумерной случайной величины можно задать таблицей:

82

(x_i, y_j); i, j = 1, 2, 3 1

2

3 p_i∗ = P {X = x_i}

0

1

2

p∗j⁼P {Y = y_j}

0 1/6 0

3/6 0 1/6

0 1/6 0

3/6 2/6 1/6

1/6

4/6

1/6

1

В первом столбце таблицы указываются возможные значения первой

случайной величины X (ω) , а в последнем столбце помещаются вероятно-

сти возможных значений X (ω) , которые рассчитываются в данном примере

по классической схеме вычисления вероятностей событий. Соответственно,

в первой строке располагаются возможные значения Y (ω) , а в последней

строке таблицы помещены вероятности возможных значений Y (ω) .

В каждой клетке таблицы, стоящей на пересечении i -того значения слу-

чайной величины X (ω) и j -того значения случайной величины Y (ω) указы-

ваются вероятности p_ijсовместного появления событий {X = x_i, Y = y_j} .

Отметим, что при заполнении таблицы закона двумерного распределе-

ния полезно использовать условия согласованности.

Применим теорему о независимости компонент к данному двумерному

вектору. Как видно из таблицы, вероятность p₁₁совместного осуществления

событий {X = 0, Y = 1} равна нулю. Для первой компоненты X вероят-

ность p₁∗ = P {X = 0} равна 1/6 . Соответственно, для второй компоненты

Y вероятность p∗1⁼P {Y = 0} равна 3/6 . Таким образом, 06= 1/6 · 3/6 и

условие независимости случайных величин X и Y не выполняется хотя бы

для данной ячейки таблицы, так что компоненты X и Y зависимы.

Для данного двумерного дискретного случайного вектора X, Y вычис-

лим основные числовые характеристики.

1. Математическое ожидание X :

3

∑

m_x=

i=1

x_i· p_i∗ = 0 · 1/6 + 1 · 4/6 + 2 · 1/6 = 1.

2. Математическое ожидание Y :

3

∑

m_y=

i=1

y_j· p∗j^{= 1}· 3/6 + 2 · 2/6 + 3 · 1/6 = 1, 67.

83

3. Дисперсия и стандартное отклонение компоненты X :

3

D_x=

∑

i=1

(x_i− m_x)²· p_i∗ = (−1)²· 1/6 + 0 · 4/6 + (1)²· 1/6 = 2/6, σ_x= 0, 58.

4. Дисперсия и стандартное отклонение компоненты Y :

D_y= (−4/6)²· 3/6 + (2/6)²· 2/6 + (8/6)²· 1/6 = 5/9, σ_y= 0, 75.

5. Ковариация и коэффициент корреляции случайных компонент X, Y :

3

3

K_xy=

∑ ∑

(x_i− m_x)(y_j− m_y) · p_ij= (−1)· (2/6) · (1/6) + (1) · (2, 6) · (1/6) = 0,

i=1 j=1

ρ_xy= 0.

Отметим, что в данном примере случайные компоненты X, Y являются

зависимыми, хотя коэффициент корреляции равен нулю.

Вычислим вероятность P {X ≥ Y } . Для этого необходимо суммировать

все те вероятности p_ij, для которых выполняются условия x_i≥ y_j, так что

P {X ≥ Y } = 3/6 + 0 + 1/6 = 4/6 .