2.3.5 Показательное распределение

Определение показательного распределения. Случайная вели-

чина X называется распределённой по показательному или экспоненци-

альному закону с параметром λ > 0 , если она непрерывного типа и её

плотность распределения вероятностей задаётся формулой

f (x) = λe−λx_,если x ≥ 0; f (x) = 0, если x < 0.

Данная функция неотрицательна и при любом допустимом значении

параметра λ удовлетворяет обязательному условию нормировки

+∞

∫

f (x)dx =

−∞

0

∫

−∞

0· dx+

+∞

∫

λe−λx_dx=

0

+∞

λ ∫

e−λx_d(λx) = −e−λx_|+₀∞ = 0+1 = 1 .

λ

0

65

С помощью показательного распределения моделируют время ожида-

ния в теории массового обслуживания или время безотказной работы в тео-

рии надёжности. На Рис. 10, для примера, представлен график плотности

экспоненциального закона распределения с параметром λ = 1 .

Рис. 10

Функция распределения показательного закона выражается через плот-

x

ность распределения по общей формуле F (x) =

x

∫

−∞

f (t) dt . Отсюда, при

x < 0 имеем F (x) =

0

∫

∫

−∞

0 · dt = 0 . Соответственно, при x ≥ 0 получим:

x x

∫ ∫

F (x) =

−∞

0 · dt +

0

λe−λt_dt=

0

e−λt_d(λt) = −e−λt_|x₀= 1 − e−λx_.

Таким образом, функция распределения показательного закона имеет вид:

F (x) = 1 − e−λx_,если x ≥ 0; F (x) = 0, если x < 0.

На Рис. 11 представлен график данной функции распределения при λ = 1 .

Математическое ожидание показательной случайной величины выра-

жается через параметр распределения λ > 0 следующим образом:

+∞

∫

x f (x)dx =

−∞

+∞

∫

x λe−λx_dx= −x e−λx_|+₀∞₊

0

66

+∞

∫

e−λx_dx= 0 −

0

1

λ

e−λx_|+₀∞₌

1

λ

.

Рис. 11

Медиана h_xпоказательного распределения находится из уравнения

1 − e−λh_x= 0, 5 с помощью следующих преобразований:

e−λh_x= 0, 5; eλh_x= 2; λh_x= ln 2; h_x= ln 2/λ.

Как видно из графика, плотность распределения имеет локальный мак-

симум в точке нуль, так что мода распределения равна нулю.

Таким образом, характеристики положения показательного распреде-

ления не совпадают между собой и имеют следующие значения:

m_x=

1

λ

, h_x=

ln 2

λ

, d_x= 0.

Дисперсию показательного распределения удобно находить с помощью

формулы D_x= M (X²) − m²x , выполнив следующие преобразования:

M (X²) =

+∞

∫

x²f (x)dx =

+∞

∫

x²λe−λx_dx= −x²e−λx_|+₀∞_{+ 2}

+∞

∫

x e−λx_dx=

−∞

0

0

= 0 +

2_·1

λ λ

=

2

λ²

, D_x=

2

λ²

−¹

λ²

=

1

λ²

.

Стандартное отклонение вычисляется как корень квадратный из дисперсии

в виде σ_x= 1/λ . Как видно, у показательного распределения мате-

матическое ожидание и стандартное отклонение одинаковы.

Нижний и верхний квартили показательного распределения находятся

67

как решения уравнений 1 − e−λx₀,25 = 0, 25 , 1 − e−λx₀,75 = 0, 75 в виде:

x₀,25⁼

ln(4/3)

λ

, x₀,75⁼

ln 4

λ

.

Отсюда, интерквартильный размах w₀,5⁼x₀,75 − x₀,25 и серединное откло-

нение E_x= w₀,5^/2 для показательного распределения выражается через па-

раметр λ по формулам:

w₀,5⁼

ln 4 − ln 4/3

λ

=

ln 3

λ

, E_x=

ln 3

2λ

.

Плотность показательного распределения имеет пологую часть справа

от моды, а крутую часть слева. Отсюда следует, что коэффициент асим-

метрии должен быть положительным. Непосредственные вычисления пока-

зывают, что в данном случае коэффициент асимметрии равен двум.

Коэффициент эксцесса является показателем островершинности плот-

ности распределения по сравнению с нормальным распределением. Для пока-

зательного распределения коэффициент эксцесса равен шести, так что данное

распределение резко отличается от нормального распределения.