2.2.5 Распределение Пуассона

Случайная величина имеет распределение Пуассона с одним парамет-

ром λ > 0 , если она имеет следующий закон (ряд) распределения:

λk

P (X = k) = p_k=

k!

e−λ_,k = 0, 1, 2, . . . .

На Рис. 4 представлен график распределения Пуассона при λ = 2

Рис. 4

Ряд распределения Пуассона удовлетворяют обязательному для любого

распределения условию нормировки:

∞

∑

k=0

p_k=

∞

∑

k=0

λ^k

k!

e−λ₌e−λ

∞

∑

k=0

λ^k

k!

= e−λ_·eλ_{= 1}.

Закон распределения Пуассона используется для моделирования практиче-

ских задач, которые можно рассматривать в рамках такой схемы Бернулли,

47

где вероятность наблюдаемого события мала, а число испытаний значитель-

ное. В этом случае закон распределения Пуассона часто называют ѕзаконом

редких явленийї. Характерным примером является число выигрышей в лоте-

рею, когда имеется много билетов, но вероятность выигрыша незначительна.

Справедлива теорема Пуассона о том, что при n → ∞ , p → 0 ,

причем так, что произведение np постоянно, биномиальное распределение

стремится к распределению Пуассона с параметром λ = np .

В частности, показано, что биномиальное распределение с параметрами

n и p может быть c высокой точностью аппроксимировано распределением

Пуассона с параметром λ = np при проведении испытаний по схеме Бернулли

и условиях p < 0, 1 , np ≤ 10 .

Распределение Пуассона используют также при моделировании потока

событий, т. е. последовательности событий, наступающих в случайные мо-

менты времени. Например, так анализируют поток телефонных вызовов, по-

ток отказов элементов в сложной системе, поток клиентов и т. п. С помощью

распределения Пуассона эффективно моделируются только, так называемые,

простейшие потоки событий , обладающие свойствами стационарно-

сти, ординарности и отсутствия последействия . У стационарных

потоков интенсивность (среднее число событий за единицу времени) посто-

янна. Свойство ординарности означает, что вероятность группирования со-

бытий мала, а более вероятно появление событий поодиночке. Свойство от-

сутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления за-

данного числа событий на любом отрезке времени, не зависит от числа собы-

тий на любом другом непересекающемся отрезке. Если в конкретной задаче

указанные свойства выполняются, то полагают параметр λ равным интен-

сивности потока, а вероятность появления k событий за некоторое время t

рассчитывают по следующей формуле:

(λt)^k

P (X = k) = p_k=

k!

e−λt_,k = 0, 1, 2, . . . .

Функция распределения Пуассона F (x) является непрерывной слева

кусочно-постоянной функцией, возрастающей от нуля до единицы:



F (x) = P {X (ω) < x} = ∑_pk⁼

 ,

λ^k

−

x ≤ 0,

k<x

48



∑

k<x

k!^e

λ, x > 0.

Производящая функция для распределения Пуассона имеет вид

ϕ(x) =

∞

∑

k=0

p_kx^k=

∞

∑

k=0

λ^ke−λ

k!

x^k= e−λ

∞

∑

k=0

(λx)^k

k!

= e−λ_·eλx₌eλ(x−1)_,|x| ≤ 1.

Отсюда, ϕ⁰(x) = λ · eλ(x−1)_,ϕ⁰⁰(x) = λ²· eλ(x−1)_,ϕ⁰(1) = λ , ϕ√⁰⁰(1) = λ²;

m = ϕ⁰(1) = λ , D = ϕ⁰⁰(1)+ϕ⁰(1)−^[ϕ⁰(1)^]2₌λ²+ λ−λ²= λ , σ =

D =

√

λ .

Итак, математическое ожидание, дисперсия и стандартное

отклонение зависят от параметра λ и вычисляются по формулам:

√

m = λ, D = λ, σ =

λ.

Отметим, что у распределения Пуассона математическое ожидание равно

дисперсии. Данное свойство является характеристическим и позволяет при

решении статистических задач выделять распределение Пуассона среди дру-

гих дискретных распределений по результатам наблюдений. При λ > 9 рас-

пределение Пуассона аппроксимируется нормальным распределе-

нием с математическим ожиданием λ и дисперсией λ .