Содержание

1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

3

1.1 Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Аксиомы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Классическая схема вычисления вероятностей . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Декартово произведение множеств и правило умножения 12

1.3.2 Размещения и перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Сочетания при выборе с возвращением и без возвращения 15

1.3.4 Схема упорядоченных разбиений множества . . . . . . . 17

1.4 Геометрическая, статистическая и экспертная схемы расчета . . 18

1.4.1 Геометрическая схема вычисления вероятности . . . . . . 18

1.4.2 Статистическая схема вычисления вероятности . . . . . . 19

1.4.3 Схема вычисления субъективной вероятности . . . . . . . 20

1.5 Условная вероятность. Независимость событий. Формулы сло-

жения и умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Формула полной вероятности и формулы Байеса . . . . . . . . . 25

2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

29

2.1 Cлучайная величина и ее функция распределения . . . . . . . . 29

2.2 Дискретная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Дискретный закон распределения . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Числовые характеристики дискретного распределения . . 34

2.2.3 Производящая функция вероятностей . . . . . . . . . . . 40

2.2.4 Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.5 Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.6 Геометрическое распределение . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.1 Функция распределения и плотность распределения . . . 51

2.3.2 Числовые характеристики непрерывного распределения . 53

2.3.3 Равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.4 Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.5 Показательное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4 Функция от случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ

73

3.1 Общие свойства случайного вектора . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Случайные векторы дискретного типа . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Непрерывные случайные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1

4 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

90

4.1 Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

98

5.1 Выборка и выборочные законы распределения . . . . . . . . . . 98

5.2 Точечные оценки числовых характеристик случайных величин . 102

5.3 Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4 Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2

1 Случайные события

1.1 Основные понятия и определения

Теория вероятностей это математическая дисциплина, в рамках ко-

торой моделируют и изучают такие события в повседневной жизни, науке и

технике, которые носят случайный характер. Например, случайный характер

имеют такие явления, как выпадение ѕгербаї при подбрасывании монеты,

результаты измерений в метрологии, длительность телефонного разговора,

число бракованных изделий в некоторой партии при контроле качества про-

дукции, текущие курсы валют при экономических расчетах и так далее. От-

личительная черта любого случайного события –– это неоднозначность исхо-

да каждого опыта при их многократном повторении в одинаковых условиях.

Как и любая математическая дисциплина, теория вероятностей строит-

ся по аксиоматическому принципу. Согласно этому принципу вводятся пер-

вичные понятия, которые в самой теории не определяются строго, а только

разъясняются на конкретных примерах. В теории вероятностей первичным

понятием является произвольное множество. Элементы ω этого множества

называют элементарными событиями , а само множество Ω называют

пространством элементарных событий . В реальном опыте элемен-

тарным событиям соответствуют взаимоисключающие исходы. Разнообразие

случайных явлений не позволяет дать более конкретного определения про-

странства элементарных событий. Для описания каждой реальной задачи

пространство Ω выбирают наиболее подходящим образом.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании правильной шести-

гранной игральной кости. Наблюдаемый результат число очков на верхней

грани. Пространство элементарных событий Ω в этом случае равно множе-

ству {1, 2, 3, 4, 5, 6} , а элементарные события цифры от одной до шести.

Пространство Ω может быть дискретным или непрерывным .

Дискретные пространства подразделяются на конечные и счетные, т. е.

эквивалентные множеству натуральных чисел.

Любой конечный или бесконечный промежуток на числовой прямой яв-

ляется примером непрерывного множества.

Если пространство Ω дискретно, то случайным событием или, ко-

ротко, событием может быть любое подмножество пространства элемен-

тарных событий. События обозначают прописными буквами латинского ал-

фавита A, B, C, . . . , Z . Говорят, что событие A произошло (наступило), ес-

ли результатом опыта явился элементарный исход, принадлежащий A . В

3

каждой конкретной задаче событие можно задать в словесной формулировке

(на языке событий) или по правилам теории множеств (на языке мно-

жеств ). В примере с игральной костью на языке событий можно опреде-

лить событие A ѕЧисло выпавших очков кратно тремї. На языке множеств

данное событие равно подмножеству {3, 6} . Если в результате подбрасыва-

ния кости выпадет число 6 или 3 , то указанное событие A произойдет. В

обратном случае говорят, что событие A не произошло.

Событие, совпадающее с пустым множеством ∅ , называется невоз-

можным событием, а событие, совпадающее со всем пространством Ω ,

называется достоверным событием . Невозможное событие не происходит

ни в одном опыте, а достоверное реализуется всегда.

Если пространство Ω непрерывно, то событиями являются не любые

его подмножества, а только те, которые принадлежат σ -алгебре событий ,

т. е. семейству подмножеств, замкнутому относительно основных операций

над множествами. Для того, чтобы задать σ -алгебру событий, надо пред-

варительно определить основные операции и отношения между событиями.

Поскольку любое событие отождествляется с некоторым множеством, то над

событиями можно совершать те же операции, что и над множествами.

Для определения операций над множествами (событиями) и проведе-

ния необходимых преобразований и доказательств используется аппарат ма-

тематической логики, а для иллюстрации множеств (событий) на плоскости

применяются диаграммы Эйлера-Венна .

В математической логике под высказыванием понимают всякое утвер-

ждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Обыч-

но истинным высказываниям сопоставляют цифру 1, а ложным цифру 0.

Из высказываний a, b, c, . . . , z с помощью логических связок : a

отрицания высказывания a (читают: ѕ a с чертойї или ѕне a ї), логиче-

ского произведения a∧b (читают: ѕ a и b ї), логического сложения a∨b

(читают: ѕ a или b ї), импликации a → b (читают: ѕесли a , то b ї), экви-

валенции a ↔ b (читают: ѕ a равно b ї), а также скобок образуют новые

более сложные высказывания. Правила образования новых высказываний не

зависят от конкретного содержания исходных высказываний, а зависят толь-

ко от их логических значений. Эти правила для каждой логической связки

задаются аксиоматически так называемыми таблицами истинности , ко-

торые приводятся ниже в сводной таблице.

Сводная таблица истинности для логических операций

4

a

1

1

1

0

0

b

2

1

0

1

0

a

3

0

0

1

1

a ∧ b

4

1

0

0

0

a ∨ b

5

1

1

1

0

a → b

6

1

0

1

1

a ↔ b

7

1

0

0

1

Если логические операции применяют к предикатам (высказыватель-

ным функциям), то в результате получают новый предикат, в котором пред-

метными переменными являются все переменные исходных предикатов. Но-

вый предикат обращается в высказывание, соответствующее заданной опе-

рации, как только аргументы в исходных предикатах получают конкретные

значения. Некоторые предикаты имеют специальные обозначения. Например,

следующие числовые выражения x6= y, x ≤ y, x < y < z являются сокра-

щёнными обозначениями предикатов, сформированных с помощью логиче-

ских связок ѕнеї, ѕилиї, ѕиї:

x = y, (x < y) ∨ (x = y), (x < y) ∧ (y < z).

Если два предиката P и Q таковы, что при всех истинных значениях

предиката P предикат Q также принимает истинные значения, то предикат

Q называется следствием предиката P . Множество истинности предиката-

следствия Q всегда шире, чем множество истинности предиката-условия P .

В этом случае пишут P ⇒ Q и говорят, что из P следует Q .

Например, из предиката x = y следует предикат x²= y², что записы-

вается в виде высказывания (x = y) ⇒ (x²= y²) .

Если два предиката P и Q таковы, что одновременно из P следует

Q и из Q следует P , то предикаты P и Q называются равносильными.

Множества истинности равносильных предикатов совпадают. В этом случае

пишут P ⇔ Q и говорят P равносильно Q , P необходимо и доста-

точно для Q , P тогда и только тогда, когда Q . В частности, пре-

дикаты x = y и x³= y³равносильны.

Отметим, что для предикатов знаки → , ↔ и ⇒ , ⇔ имеют принципи-

ально различный смысл. Первые два знака из предикатов формируют новые

предикаты, а вторые из двух предикатов формируют новые высказывания.

Так, например, выражение (x − 2) > 0 → (x − 2)(x − 10) > 0 является преди-

5

катом, который имеет, в частности, ложное значение при x = 4 и истинное

значение при x = 12 . В то же время, выражение (x − 2) > 0 ⇒ (x − 2)²> 0

является истинным высказыванием.

Множества, состоящие из одинаковых элементов, называют равными .

В этом случае пишут A = B и это означает, что слева и справа от знака

равенства стоит одно и то же множество, но его элементы записаны в разных

формах. Определение равенства двух множеств имеет следующий вид:

A = B ⇔ ∀x ∈ Ω(x ∈ A ↔ x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Теоретико-множественному высказыванию: ѕмножество A равно мно-

жеству B ї соответствуют высказывания на языке событий: ѕСобытия A и

B равныї или ѕСобытия A и B совпадаютї.

Если множества не равны ( A6= B ), то в одном из множеств имеется

хотя бы один элемент, не входящий в другое множество.

Если каждый элемент множества A является также элементом множе-

ства B , то пишут A ⊂ B и говорят, что A есть подмножество B или A

включено в B , или A внутри B . Например: N ⊂ N , N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C .

Здесь буквами N, Z, Q, R, C обозначены, соответственно, множества нату-

ральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.

С помощью логических символов определение включения одного мно-

жества в другое записывается следующим образом:

A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ Ω(x ∈ A → x ∈ B ) ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

Если A и B события и A ⊂ B , то говорят, что из события A

следует событие B . Иначе говоря, событие B происходит всякий раз,

как происходит событие A . В примере с игральной костью из события ѕчисло

выпавших очков будет кратно 5 ї следует событие ѕчисло выпавших очков

будет нечетної, так как {5} ⊂ {1, 3, 5} .

Операция объединения множеств A и B обозначается символом ∪ и

позволяет построить новое множество, состоящее из тех и только тех элемен-

тов, которые принадлежат множеству A или множеству B . Таким образом,

A ∪ B = {∀x ∈ Ω|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B )} .

Объединению множеств соответствует сумма событий , понимаемая как

новое событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий.

Например, если A = {2, 3, 5} событие: ѕВыпало простое числої, а

B = {3, 6} ѕВыпало число кратное тремї, то A ∪ B = {2, 3, 5, 6} .

Операция пересечения множеств A и B обозначается символом ∩ и

позволяет построить множество A ∩ B , состоящее из тех элементов, которые

6

принадлежат обоим множествам. Таким образом, по определению

A ∩ B = {∀x ∈ Ω|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B )} .

Так, если A = {1, 2, 3, 4} множество очков меньших пяти, B = {2, 4, 6}

множество очков с чётными номерами, то A ∩ B = {2, 4} . Символ операции

пересечения в выражениях часто опускают для более наглядной формы их

записи, так что A ∩ B = AB . Пересечению множеств соответствует произ-

ведение событий , понимаемое как новое событие, состоящее в совместном

осуществлении обоих событий.

Если множества не имеют общих элементов, то их называют непересе-

кающимися , а соответствующие события –– несовместными . Для двух

множеств A и B в этом случае AB = ∅ . Например, события ѕвыпадет чёт-

ное число очковї и ѕвыпадет нечётное число очковї несовместны, так как

множества A = {2, 4, 6} и B = {1, 3, 5} не пересекаются.

В дальнейшем, рассматривая сумму несовместных событий, будем ис-

пользовать знак плюс + вместо знака объединения ∪ , который используется

для суммы совместных событий.

События A₁, A₂, . . . , A_nобразуют полную группу , если они попарно

несовместны, а в сумме дают достоверное событие. Например, два указанных

выше события A = {2, 4, 6} и B = {1, 3, 5} образуют полную группу.

Разностью двух множеств A и B называют множество A \ B , состоя-

щее из тех элементов, которые входят в A , но не входят в B

A \ B = {∀x ∈ Ω|(x ∈ A) ∧ (x 6∈ B )}.

Разности множеств соответствует разность событий . Это новое событие,

состоящее в том, что A происходит, а B не происходит. Например, если

A = {1, 2, 3, 4} множество очков меньших пяти, B = {2, 4, 6} множе-

ство чётных очков, то A \ B = {1, 3} . Если рассматривается разность между

пространством элементарных событий и некоторым множеством A , то раз-

ность Ω \ A называется дополнением множества A и обозначается AЇ .

Событие AЇ называют событием противоположным A . Это событие,

состоящее в том, что A не происходит.

Так, событием противоположным событию A = {1, 2, 3, 4} будет собы-

тие AЇ = {5, 6} , т. е. выпадет число большее или равное пяти.

Основным законам алгебры высказываний соответствуют аналогич-

ные законы алгебры множеств. Законы алгебры множеств используются

для тождественных преобразований выражений с множествами (событиями)

с целью их упрощения или приведения к нужному виду.

7

1. Коммутативность объединения и пересечения:

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.

2. Ассоциативность объединения и пересечения:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ).

3. Первый дистрибутивный закон: A(B ∪ C ) = AB ∪ AC.

4. Второй дистрибутивный закон: A ∪ BC = (A ∪ B)(A ∪ C ).

5. Законы двойственности де Моргана: A ∪ B = ЇAB, ABЇ = ЇA ∪ B.Ї

6. Законы поглощения: A ∪ A = A, A ∩ A = A.

7. Законы включения: A ⊂ B ⇔ BЇ ⊂ AЇ ⇔ (A ∪ B) = B ⇔ (A ∩ B) = A.

Докажем, например, закон включения A ⊂ B ⇔ BЇ ⊂ AЇ с помощью

таблицы истинности. Обозначим A(x) предложение (предикат) (x ∈ A) , а

B(x) предикат (x ∈ B) . В столбцах 1 и 2 перечислим полный набор воз-

можных логических значений этих предикатов для каждого элементарного

исхода. Левой части доказываемого закона, по определению включения, со-

ответствует столбец 3 значений импликации двух предикатов. В столбцах

4 и 5 представлены логические отрицания столбцов 1 и 2 соответствен-

но. Правой части доказываемого закона соответствует столбец 6 . Так как

логические значения высказываний в столбцах 3 и 6 совпадают, то по опре-

делению равносильности доказываемый закон включения справедлив.

A(x) B(x) A(x) → B(x) B(x) A(x) B(x) → A(x)

1

1

1

0

0

2

1

0

1

0

3

1

0

1

1

4

0

1

0

1

5

0

0

1

1

6

1

0

1

1

Таким образом, проведя необходимую классификацию событий и дей-

ствий над множествами, можно сформулировать достаточно строгое опреде-

ление σ -алгебры множеств и определение события.

8

Определение σ -алгебры. Семейство подмножеств S простран-

ства Ω называют σ -алгеброй, если выполняются следующие условия:

а) пустое множество ∅ и само пространство Ω входят в S ;

б) данное семейство замкнуто относительно операций с множества-

ми, включая счетные объединения и пересечения множеств из S .

Определение события.

Событием называют подмножество пространства элементарных со-

бытий Ω , принадлежащее σ - алгебре пространства Ω .