- •1 Случайные события
- •1.1 Основные понятия и определения
- •1.2 Аксиомы теории вероятностей
- •1.3 Классическая схема вычисления вероятностей
- •1.3.1 Декартово произведение множеств и правило умножения
- •1.3.2 Размещения и перестановки
- •1.3.3 Сочетания при выборе с возвращением и без возвращения
- •1.3.4 Схема упорядоченных разбиений множества
- •1.4 Геометрическая, статистическая и экспертная схемы расчета
- •1.4.1 Геометрическая схема вычисления вероятности
- •1.4.2 Статистическая схема вычисления вероятности
- •1.4.3 Схема вычисления субъективной вероятности
- •1.5 Условная вероятность. Независимость событий. Формулы сло-
- •1.6 Формула полной вероятности и формулы Байеса
- •2 Случайные величины
- •2.1 Cлучайная величина и ее функция распределения
- •2.2 Дискретная случайная величина
- •2.2.1 Дискретный закон распределения
- •2.2.2 Числовые характеристики дискретного распределения
- •2.2.3 Производящая функция вероятностей
- •2.2.4 Биномиальное распределение
- •2.2.5 Распределение Пуассона
- •2.2.6 Геометрическое распределение
- •2.3 Непрерывные случайные величины
- •2.3.1 Функция распределения и плотность распределения
- •2.3.2 Числовые характеристики непрерывного распределения
- •2.3.3 Равномерное распределение
- •2.3.4 Нормальное распределение
- •2.3.5 Показательное распределение
- •2.4 Функция от случайной величины
- •3 Случайные векторы
- •3.1 Общие свойства случайного вектора
- •3.2 Случайные векторы дискретного типа
- •3.3 Непрерывные случайные векторы
- •4 Предельные теоремы
- •4.1 Закон больших чисел
- •4.2 Центральная предельная теорема
- •5 Элементы математической статистики
- •5.1 Выборка и выборочные законы распределения
- •5.2 Точечные оценки числовых характеристик случайных величин
- •5.3 Интервальные оценки
- •5.4 Проверка статистических гипотез
1.3.4 Схема упорядоченных разбиений множества
В данной схеме множество из n элементов разбивается на систему из k
подмножеств так, что первое подмножество содержит n1элементов первого
17
типа, второе n2элементов второго типа и т. д., а последнее nkэлементов
k -того типа, причем n1+ n2+ · · · + nk= n . Каждое такое разбиение образует
соединение из n элементов, которое называют перестановкой с повто-
рениями . Число всех перестановок с повторениями называется полиноми-
нальным коэффициентом , обозначается Pn(n1, n2, . . . , nk) и вычисляется
по следующей формуле:
n!
Pn(n1, n2, . . . , nk) = .
n1! · n2! · · · · · nk!
Действительно, в соответствии со схемой разбиения множества на упо-
рядоченную конечную систему подмножеств и, используя принцип умноже-
ния, получим, что число таких соединений длиной n находится с помощью
следующих преобразований:
Pn(n1, n2, . . . , nk) = Cnn1· Cnn−2n1· Cnn−3n1−n2· · · · · Cnnkk =
=
n!
n1!(n − n1)!
·
(n − n1)!
n2!(n − n1− n2)!
· · · · ·
nk!
0! · nk!
=
n!
n1! · n2! · · · · · nk!
.
Пример. Десять мужчин, среди которых Петров и Иванов, размеща-
ются в гостинице в два трехместных и один четырехместный номер. Сколько
способов их размещения существует? Какова вероятность события A , состо-
ящего в том, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?
Решение. Число всех способов размещения по формуле расчета поли-
номиальных коэффициентов равно P10(4, 3, 3) =4!·10!3!·3! = 4200 . Далее, если
Петров и Иванов уже размещены в четырехместном номере, то оставшиеся
восемь мужчин должны разместиться в двух трехместных номерах и на двух
оставшихся местах в четырехместном номере. По той же самой формуле чис-
ло таких вариантов равно P8(2, 3, 3) =2!·8!3!·3! = 560 . Отсюда, по формуле
вычисления вероятности события в классической схеме получим
P (A) =
N (A)
N (Ω)
=
560
4200
=
2
15
.
1.4 Геометрическая, статистическая и экспертная схемы расчета
1.4.1 Геометрическая схема вычисления вероятности
Формула классической вероятности следующим образом обобщается на
случай непрерывных пространств элементарных исходов. Рассмотрим в каче-
стве σ -алгебры S систему измеримых подмножеств пространства Ω . Пусть
условия опыта таковы, что вероятность попадания в произвольное измеримое
18
подмножество пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его
местоположения в пространстве Ω . Данный опыт можно интерпретировать
как бросание случайной точки на пространство Ω . При этих условиях веро-
ятность появления любого события A из S вычисляется по так называемой
формуле геометрической вероятности
µ(A)
P (A) = ,
µ(Ω)
где буквой µ обозначена мера множества (длина, площадь или объем).
Геометрическая вероятность события A удовлетворяет всем аксиомам
теории вероятностей, что позволяет применять к ней утверждения и теоремы,
доказанные в рамках аксиоматики Колмогорова.
Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности,
радиусы которых равны пяти и десяти. Найти вероятность того, что точка,
брошенная в больший круг, попадет в кольцо между двумя окружностями.
Решение. Мера пространства элементарных событий равна площади
большого круга µ(Ω) = π102= 100π . Мера множества A равна площади
кольца и находится по формуле µ(A) = π(102− 52) = 75π . Отсюда, искомая
вероятность вычисляется по формуле геометрической вероятности и равна
P (A) =
µ(A)
µ(Ω)
=
75π
100π
= 0, 75.