2.2.2 Числовые характеристики дискретного распределения

Функция распределения полностью определяет закон распределения

случайной величины. Однако при решении многих практических задач часто

бывает достаточно знать числовые характеристики, которые дают сжатое и

наглядное представление о случайной величине. Наиболее важными числовы-

ми характеристиками являются характеристики положения, характе-

ристики рассеяния, начальные и центральные моменты, коэффи-

циенты асимметрии и эксцесса . Основной характеристикой положения

случайной величины на числовой оси является её математическое ожидание.

Определение математического ожидания.

Математическим ожиданием случайной величины дискретного типа

называется число, определяемое как сумма произведений значений данной

величины на вероятности этих значений

m = M (X ) = ∑_xkp_k.

k

Если случайная величина имеет конечное множество значений n , то

сумма в определяющей формуле содержит n слагаемых. Если же множество

34

значений счётно, то сумма понимается как ряд, причём этот ряд должен аб-

солютно сходиться. Если для некоторой случайной величины ряд не сходится

абсолютно, то математическое ожидание не существует. Как видно из опреде-

ляющей формулы математическое ожидание находится как взвешенное сред-

нее из значений случайной величины, где в качестве весов рассматривают-

ся вероятности значений случайной величины. Математическое ожидание m

обычно находится в центре множества значений случайной величины, относи-

тельно которого располагаются слева и справа значения случайной величины.

Выражение M (X ) понимают как оператор, задающий правило определения

математического ожидания для любой случайной величины X (ω) .

Основные свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной C равно самой постоян-

ной, т. е. M (C) = C .

Постоянную величину C рассматривают как случайную величину, при-

нимающую единственное значение C с вероятностью единица (вырожденное

распределение). Тогда по определяющей формуле M (C) = C · 1 = C .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математиче-

ского ожидания, т. е. справедлива формула

M (aX) = aM (X ).

Постоянный множитель можно выносить как за знак конечной суммы,

так и за знак сходящегося ряда. Отсюда и определения математического ожи-

дания следует доказываемое свойство.

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме

их математических ожиданий:

M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ).

Данное свойство следует из общей формулы вычисления математиче-

ского ожидания случайной величины, являющейся функцией от двух слу-

чайных величин дискретного типа, которая выводится в более подробных

руководствах по теории вероятностей.

4. Математическое ожидание линейной комбинации случайных вели-

чин равно линейной комбинации их математических ожиданий

M

n

∑

k=1

a_kX_k

!

=

n

∑

k=1

a_kM (X_k).

Данное свойство выводится по индукции из свойств 2 и 3.

35

5. Математическое ожидание произведения двух независимых слу-

чайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е.

справедлива формула M (XY ) = M (X )M (Y ) .

Свойства 3, 5 будут доказаны в следующем разделе. Определение неза-

висимости двух случайных величин также сформулировано в следующем раз-

деле данного руководства. При решении практических задач с использовани-

ем указанного свойства независимость рассматриваемых случайных величин

обычно не проверяется аналитически, а следует из содержания задачи.

Пример. Покажем, что математическое ожидание случайной величи-

◦

ны X = X −m , называемой центрированной случайной величиной или

отклонением случайной величины от центра распределения, равно

нулю. На основании свойств 1,2,3 математического ожидания справедливы

◦

равенства M (X ) = M (X − m) = M (X ) − M (m) = m − m = 0 .

Второй характеристикой положения случайной величины дискретнного

типа является мода случайной величины.

Определение моды распределения. Модой дискретной случайной

величины называют точку d , в которой ряд распределения имеет локаль-

ный максимум.

Если у некоторого распределения существует только одна мода, то его

называют унимодальным . Отметим, что для некоторых распределений мо-

да может не существовать или принимать несколько значений, так называе-

мые мультимодальные распределения .

Кроме характеристик положения, которые характеризуют центр рас-

пределения, представляет интерес и разброс значений случайной величины

относительно центра. Для количественного описания разброса в теории ве-

роятностей используют числовую характеристику, называемую дисперсией

случайной величины и вычисляемую как взвешенное среднее из квадратов

отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания.

Определение дисперсии. Дисперсией дискретной случайной вели-

чины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от

математического ожидания, т. е. число, вычисляемое по формуле

D(X ) = M (X − m)²= ∑₍x_k− m)²p_k.

k

Дисперсия существует для тех случайных величин, которые имеют ко-

нечное множество значений или имеют счетное множество значений, но при

этом ряд в правой части определяющей формулы сходится.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Часто

36

необходимо, чтобы характеристика рассеивания выражалась в тех же еди-

ницах, что и значения случайной величины. Тогда наряду с дисперсией ис-

пользуют арифметическое значение корня из дисперсии. Данную характе-

ристику называют средним квадратическим отклонением или стан-

дартным отклонением, обозначают σ_xи вычисляют по формуле

σ_x= Ⲛ_D(X ) .

Основные свойства дисперсии и стандартного отклонения.

1. Дисперсия и стандартное отклонение постоянной C равны нулю:

D (C) = 0, σ_c= 0.

Действительно, используя определение дисперсии и свойства математиче-

ского ожидания, получим следующие равенства:

D(C ) = M (C − M (C ))²= M (C − C )²= 0, σ_c= Ⲛ_D(C) = 0.

2. За знак дисперсии выносится квадрат постоянного множителя при

случайной величине, а за знак стандартного отклонения модуль посто-

янного множителя, т. е. справедливы следующие формулы:

D(aX) = a²D(X ), σ_ax= |a|σ_x.

Действительно:

D(aX) = M (aX − M (aX))²= M [a(X −M (X ))]²= a²M (X − m)²= a²D(X ),

σ_ax= Ⲛ_D(aX) = Ⲛ_a2D(X ) = |a|Ⲛ_D(X ) = |a|σ_x.

3. Дисперсия суммы нескольких попарно независимых случайных ве-

личин равна сумме их дисперсий

D

n

∑

k=1

X_k

!

=

n

∑

k=1

D(X_k).

Данное свойство следует из общей формулы вычисления математиче-

ского ожидания случайной величины, являющейся функцией от нескольких

случайных величин дискретного типа.

4. Дисперсия линейной комбинации нескольких попарно независимых

случайных величин вычисляется по формуле

D

n

∑

k=1

a_kX_k

!

=

n

∑

k=1

a²k^D(X_k).

37

Данное свойство выводится на основании свойств 2 и 3.

5. Справедливы следующие формулы расчета дисперсии:

!²

D(X ) = M (X²) − m²= ∑_x2_kp_k− m²= ∑_x2_kp_k− ∑_xk p_k

.

k

k

k

Используя свойства математического ожидания, получим

D(X ) = M (X −m)²= M (X²−2mX +m²) = M (X²)−2m²+m²= M (X²)−m².

В более подробных руководствах показано, что математическое ожида-

ние новой случайной величины ϕ(X ) , являющейся функцией исходной дис-

кретной случайной величины X (ω) , вычисляется по следующей формуле:

M (ϕ(X )) = ∑ ϕ(x_k) p_k.

k

В данном случае ϕ(X ) = X², что позволяет полностью доказать свойсто 5.

Пример. Покажем, что случайная величина Z =^X−m_x

σ_x, сформиро-

ванная как указанная линейная функция от исходной случайной величины

X (ω) , имеет математическое ожидание ноль и дисперсию единица.

Напомним, что случайная величина называется центрированной, если

её математическое ожидание равно нулю. Ранее в примере было показано, что

от случайной величины можно перейти к центрированной, если вычесть её

математическое ожидание. Случайную величину, имеющую дисперсию, рав-

ную единице называют нормированной. Поделив случайную величину на

её стандартное отклонение, мы осуществим её нормировку, так как

D(X/σ_x) = D(X )/σ²x⁼σ_x2/σ_x2_{= 1}.

Случайную величину называют стандартизованной или стандартной,

если она и центрирована, и нормирована одновременно. Если случайная ве-

личина X имеет математическое ожидание m_xи дисперсию D(X ) = σ_x2 , то

новая случайная величина Z , образованная по формуле

X − m_x

Z =

σ_x

,

является стандартной, что проверяется с использованием свойств операторов

математического ожидания и дисперсии:

M (Z ) = M

( X − m_x

σ_x

=

M (X − m_x)

σ_x

38

= 0, D(Z ) =

D(X − m_x)

σ

2 x

) =

σ2

x

σ

2 x

= 1.

Как правило, в таблицах задают функции распределения именно стан-

дартизованных (стандартных) случайных величин.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями

числовых характеристик, называемых начальными и центральными момен-

тами случайных величин.

Определение начальных моментов. Начальным моментом l -го

порядка (l = 0, 1, 2, 3, . . .) случайной величины дискретного типа называ-

ют действительное число, определяемое по формуле

α_l= M (X^l) = ∑_xl_k· p_k.

k

Определение центральных моментов. Центральным моментом

l -го порядка (l = 0, 1, 2, 3, . . .) случайной величины дискретного типа назы-

вают действительное число, определяемое по формуле

µ_l= M⁽(X − m)^l= ∑₍x_k− m)^l· p_k.

k

Из сформулированных определений следует, в частности, что первый

начальный момент равен математическому ожиданию, а второй централь-

ный момент равен дисперсии. Центральные моменты могут быть выражены

через начальные моменты. В частности, представленная в свойстве 5 форму-

ла вычисления дисперсии D(X ) = M (X²) − m²выражается через моменты

следующим образом: µ₂= α₂− α₁2_.

Используя третий и четвёртый центральные моменты, вводят характе-

ристики формы распределения коэффициент асимметрии и коэффи-

циент эксцесса :

µ₃µ₄

a =

σ3

, e =

σ4

− 3.

Коэффициент асимметрии характеризует закон распределения с точки зре-

ния его симметрии относительно математического ожидания. У симметрич-

ных распределений этот коэффициент равен нулю.

Коэффициент эксцесса оценивает близость формы распределения к нор-

мальному распределению, имеющему коэффициент эксцесса равный нулю.

Пример. Найдем основные числовые характеристики распределения

Бернулли в общем случае и при значении параметра p = 0, 7 .

Сначала найдем характеристики положения: математическое ожидание

и моду. Математическое ожидание вычисляется по определяющей формуле

в виде: m = ∑ x_kp_k= 0 · q + 1 · p = p . В частном случае при p = 0, 7 :

k

39

m = p = 0, 7 , а мода равна значению единица, т. е. d = 1 . Также по опреде-

ляющим формулам находим характеристики рассеяния: дисперсию

D = (0 − p)²· q + (1 − p)²· p = p²· q + q²· p = pq(q + p) = pq

и стандартное отклонение σ =

√

D =

√

pq.

√

В частном случае p = 0, 7 : D = 0, 21 , σ =

0, 21 = 0, 46 .

Далее найдём центральные моменты третьего и четвёртого порядка

µ₃= (0 − p)³· q + (1 − p)³· p = pq(q − p),

µ₄= (0 − p)⁴· q + (1 − p)⁴· p = pq(q³+ p³).

Окончательно, по определяющим формулам, вычисляем коэффициент асим-

метрии и коэффициент эксцесса

a =

q − p

√

pq

, e =

p3₊q³

pq

− 3.

В частном случае p = 0, 7 : a = −0, 87 , e = −1, 24 .