3.3 Непрерывные случайные векторы

Определение непрерывного двумерного случайного вектора.

Двумерный случайный вектор (X, Y ) называют непрерывным, если суще-

ствует неотрицательная функция двух переменных f_X,Y(x, y) , называемая

совместной плотностью вероятности, которая позволяет найти вероят-

ность события D на плоскости путем вычисления двойного интеграла

∫ ∫

P {(X, Y ) ∈ D} =

D

f (x, y)dxdy.

Функция распределения F_X,Y(x, y) двумерного случайного век-

тора как дискретного, так и непрерывного определена как вероятность по-

падания в ѕюго–западныйї квадрант с вершиной в любой точке (x, y) ∈ R²:

F_X,Y(x, y) = P (X (ω) < x, Y (ω) < y) .

Отсюда следует, что все основные свойства функции распределения, выведен-

ные ранее, сохраняются и для непрерывного случайного вектора. Из сформу-

лированного выше определения непрерывного двумерного случайного векто-

ра дополнительно следует, что его функция распределения F_X,Y(x, y) может

84

быть выражена через совместную плотность вероятности по формуле

F_X,Y(x, y) =

x

∫

y

∫

f (u, v)dudv.

−∞ −∞

Из данной формулы и свойства двойного интеграла с переменным верх-

ним пределом вытекает, что функция распределения F_X,Y(x, y) непре-

рывного случайного вектора является непрерывной функцией . Гра-

фик функции распределения F_X,Y(x, y) непрерывного случайного вектора

представляет собой график непрерывной функции двух аргументов, задан-

ной на всей плоскости, неубывающей по каждому из аргументов и изменяю-

щейся в диапазоне от нуля до единицы.

Свойства совместной плотности вероятности непрерывного

случайного вектора приводятся ниже для двумерного случая.

1. Совместная плотность вероятности задана на всей плоскости и

является неотрицательной функцией: f (x, y) ≥ 0, (x, y) ∈ R².

2. Справедлива формула нормировки для плотности

∞

∫

∞

∫

f_XY(x, y)dxdy = 1.

−∞ −∞

Данное свойство следует из свойства F (+∞, +∞) = 1 двумерной функ-

ции распределения в приложении к непрерывному случайному вектору.

3. В каждой точке непрерывности двумерной плотности вероятно-

сти f_XY(x, y) справедлива формула F_XY00₍x, y) = f_XY(x, y) .

Данное свойство следует из теоремы о дифференцировании двойного

интеграла с переменными верхними пределами.

4. Справедливы формулы согласованности для плотностей

f_X(x) =

∞

∫

−∞

f_XY(x, y)dy, f_Y(y) =

∞

∫

−∞

f_XY(x, y)dx.

Действительно, общие формулы согласованности для двумерной функ-

ции распределения имеют вид F_X,Y(x, +∞) = F_X(x) , F_X,Y(+∞, y) = F_Y(y)

и для непрерывного случайного вектора записываются в следующей форме:

x

∫

du

∞

∫

f (u, y)dy = F_X(x),

y

∫

dv

∞

∫

f (x, v)dx = F_Y(y).

−∞

−∞

85

−∞

−∞

Дифференцируем обе части данных равенств по переменным x , y стоящим

на верхнем пределе в соответствующих интегралах. Используя утверждение

о том, что производная интеграла с переменным верхним пределом равна

подынтегральной функции от верхнего предела в каждой точке непрерывно-

сти подынтегральной функции, получим доказываемые формулы.

В качестве реальных задач, которые моделируются двумерными непре-

рывными случайными векторами можно назвать:

1. Случайный вектор (X, Y ) , где (X, Y ) координаты точки попадания

при стрельбе по плоской мишени.

2. Случайный вектор (X, Y ) , где X результат измерения первого пара-

метра, а Y результат измерения второго параметра.

В практических задачах часто применяются двумерное равномерное

распределение и двумерное нормальное распределение.

Двумерное равномерное распределение в области D определяется сов-

местной плотностью вероятности вида

f_XY(x, y) = 1/S_D, ∀(x, y) ∈ D.

Здесь S_D– площадь области D .

Двумерное нормальное распределение содержит пять параметров рас-

пределения µ_x, µ_y, σ_x, σ_y, ρ и задается совместной плотностью вероятности:

1

f_X,Y(x, y) =

2πσ_xσ_yⲚ₁− ρ²

exp

exp

[

−

1

2(1 − ρ²)

((x − µ_x)²

σ

2 x

− 2ρ⁽x

−_µx⁾⁽y − µ_y)

σ_xσ_y

+

(y − µ_y)²]

σ

2 y

.

Теорема (о независимости непрерывных случайных величин).

Случайные величины непрерывного типа X (ω) , Y (ω) независимы тогда

и только тогда, когда их совместная плотность распределения вероятно-

стей равна произведению одномерных плотностей вероятностей:

f_X,Y(x, y) = f_X(x) · f_Y(y), ∀(x, y) ∈ R².

Доказательство следует из общего условия независимости компо-

нент двумерного случайного вектора в виде F_X,Y(x, y) = F_X(x) · F_Y(y ) и

равенств F_XY00₍x, y) = f_X,Y(x, y) , F_X0₍x) = f_X(x) , F_Y0₍y) = f_Y(y) дифферен-

цированием данного условия по переменным x и y .

86

Общая формула вычисления математического ожидания функции

ψ(X, Y ) компонент двумерного непрерывного случайного вектора, имеет вид

M [ψ(X, Y )] =

∞

∫

∞

∫

ψ(x, y)f_XY(x, y)dxdy.

−∞ −∞

С помощью данной формулы выводятся свойства математического ожидания

и дисперсии для непрерывного случайного вектора.

Основные числовые характеристики для непрерывного случайного век-

тора (X, Y ) вычисляются по следующим формулам:

1. Математическое ожидание компоненты X :

m_x= M (X ) =

∞

∫

∞

∫

xf_X,Y(x, y)dxdy =

∞

∫

xf_X(x)dx.

−∞ −∞

2. Математическое ожидание компоненты Y :

−∞

m_y= M (Y ) =

∞

∫

∞

∫

yf_X,Y(x, y)dxdy =

∞

∫

yf_Y(y)dy.

−∞ −∞

−∞

3. Дисперсия и стандартное отклонение компоненты X :

D_x= D(X ) = M^[(X − m_x)²]₌M⁽X²− m²x⁼

=

∞

∫

∞

∫

(x − m_x)²f_X,Y(x, y)dxdy =

∞

∫

(x − m_x)²f_X(x)dx, σ_x= Ⲛ_Dx^.

−∞ −∞

−∞

4. Дисперсия и стандартное отклонение компоненты Y :

D_y= D(Y ) = M^[(Y − m_y)²]₌M⁽Y²− m²y⁼

=

∞

∫

∞

∫

(y − m_y)²f_X,Y(x, y)dxdy =

∞

∫

(y − m_y)²f_Y(y)dy, σ_y= Ⲛ_Dy^.

−∞ −∞

−∞

5. Ковариация двух случайных компонент X, Y :

K_xy= M [(X − m_x)(Y − m_y)] =

∞

∫

∞

∫

(x − m_x)(y − m_y)f_X,Y(x, y)dxdy.

−∞ −∞

87

Коэффициент корреляции для непрерывных случайных величин выра-

жается через ковариацию по той же формуле

ρ_xy= √

K_xy

=

K_xy

,

D_x· Ⲛ_Dy

σ_xσ_y

что и для дискретного случая, так что все свойства коэффициента корреля-

ции, перечисленные ранее, сохраняются.

Пример. Пусть двумерное равномерное распределение в области D

определяется совместной плотностью вероятности вида

f_XY(x, y) = 2, ∀(x, y) ∈ D,

где область D представляет собой треугольник на плоскости Oxy с верши-

нами (0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , имеющий площадь S_D= 1/2 .

1. Найти плотности распределения f_X(x) и f_Y(y ) компонент X (ω) и Y (ω) .

2. Установить зависимы или независимы компоненты X (ω) и Y (ω) .

3. Найти основные числовые характеристики случайного вектора.

4. Вычислить вероятность события {X ≥ Y } .

Решение. Для нахождения одномерных плотностей вероятности f_X(x)

и f_Y(y) воспользуемся условиями согласованности:

f_X(x) =

f_Y(y) =

∞

∫

−∞

∞

∫

f_XY(x, y)dy = 2

f_XY(x, y)dx = 2

1−x

∫

dy = 2(1 − x), x ∈ [0, 1],

0

1−y

∫

dx = 2(1 − y), y ∈ [0, 1].

−∞

0

Вне указанных интервалов плотности компонент f_X(x) и f_Y(y) равны нулю.

Условие независимости f_X,Y(x, y) = f_X(x) · f_Y(x), ∀(x, y) ∈ R²не вы-

полняется, например, в точке (x, y) = (1/3; 1/3) , где 26= 2(1−1/3)2(1−1/3) ,

так что случайные величины X (ω) и Y (ω) являются зависимыми.

Математические ожидания и дисперсии удобно вычислять, пользуясь

уже найденными одномерными плотностями f_X(x) и f_Y(y) :

m_x=

∞

∫

−∞

xf_X(x)dx =

1

∫

0

x · 2(1 − x)dx =

88

(

x²−

2

3x3

1

0

=

1

3

,

m_y=

∞

∫

−∞

yf_Y(y)dy =

1

∫

0

y · 2(1 − y)dy =

(

y²−

2

3y³

1

0

=

1

3

,

D_x=

∞

∫

−∞

∞

∫

x²f_X(x)dx − m²x⁼

1

∫

0

1

∫

x²· 2(1 − x)dx −

1

9

1

=

( 2x³

3

( 2y³

−

2x⁴

4

2y⁴

−

1

9

1

=

1

18

1

,

D_y=

−∞

y²f_Y(y)dy − m²y⁼

0

y²· 2(1 − y)dy −

√

9

=

3

√

−

4

−

9

=

18

,

σ_x= Ⲛ_Dx = 1/

18, σ_y= Ⲛ_DY = 1/

18.

Ковариация случайных величин X (ω) и Y (ω) может быть вычислена

только по совместной функции распределения f_XY(x, y) в следующем виде:

K_xy=

∞

∫

∞

∫

xyf_X,Y(x, y)dxdy − m_xm_y= 2

1

∫

xdx

1−x

∫

ydy −

1

9

=

=

( x²

2

−

−∞ −∞

2x³

+

3

x4

4

1

0

−

1

9

= −

1

36

0

. Отсюда, ρ_xy=

0

K_xy

σ_xσ_y

=

−¹

36

1

18

= −

1

2

.

Вероятность события {X ≥ Y } находим по определяющей формуле:

P {(X, Y ) ∈ G} =

∫ ∫

f (x, y)dxdy = 2

0,5

∫

dy

1−y

∫

dx =

0,5

∫

G:x≥y

0

1

y

= 2

0

(1 − 2y)dy = 2(y − y²)⁰,5

89

0⁼

2

.