1.2 Аксиомы теории вероятностей

В теории вероятностей для количественного описания степени объек-

тивной возможности наступления событий вводится специальная числовая

функция, которая ставит в соответствие каждому событию A вещественное

число P (A) , называемое вероятностью события A .

Вероятности событий должны удовлетворять трем аксиомам:

1. P (A) ≥ 0 (аксиома неотрицательности);

2. P (Ω) = 1 (аксиома нормированности);

(

3. P

∑ A_k= ∑ P (A_k) (аксиома аддитивности): для любой конечной

k k

или счетной последовательности попарно несовместных событий ве-

роятность суммы событий равна сумме их вероятностей.

Если в третьей аксиоме рассматривается сумма конечного числа событий,

то ее называют аксиомой сложения . Если же сумма счетная, то третью

аксиому обычно называют расширенной аксиомой сложения , причем в

правой части формулы стоит сумма сходящегося ряда.

Тройку {Ω, S, P } , где S есть σ -алгебра подмножеств пространства

элементарных событий Ω , P числовая функция, удовлетворяющая трем

аксиомам, называют вероятностным пространством случайного опы-

та, а неотрицательную, нормированную и аддитивную вероятностную функ-

цию P (A), A ∈ S, A ⊂ Ω

распределением вероятностей .

Аксиоматическая теория вероятностей в ее современном виде была со-

здана русским математиком А. Н. Колмогоровым в 1933 году.

Из аксиом по правилам математической логики выводятся основные

теоремы и следствия теории вероятностей.

9

Теорема 1 (о неубывании распределения вероятностей). Если из со-

бытия A следует событие B , то справедлива формула

P (A) ≤ P (B).

Доказательство. Так как A ⊂ B , то событие B представимо в виде

B = BΩ = B(A + ЇA) = BA + B AЇ = A + B A.Ї

Отсюда, используя аксиому сложения, получим P (B) = P (A) + P (BAЇ) .

Так как в силу аксиомы 1 справедливо неравенство P (BAЇ) ≥ 0 , то из

предшествующего равенства следует доказательство теоремы.

Теорема 2 (о вероятности противоположного события). Вероятность

противоположного события вычисляется по формуле

P ( Ї) = 1 − P (A).

Доказательство. Из равенства для множеств A + Ї = Ω и аксиом сложения

и нормированности следует числовое равенство

P (A) + P ( Ї) = 1.

Отсюда, получаем доказываемую формулу.

Учитывая, что невозможное и достоверное события взаимно противо-

положны ( ∅ + Ω = Ω ), из данной теоремы выводится утверждение:

ѕВероятность невозможного события равна нулю ї

P (∅) = 0.

Для любого события A истинны соотношения ∅ ⊂ A ⊂ Ω . Отсю-

да, учитывая неубывание распределения вероятностей, следует, что вероят-

ность любого события всегда лежит между нулем и единицей

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Теорема 3 (о вероятности суммы совместных событий). Для любых

двух совместных событий верна формула сложения вероятностей

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB).

Доказательство. Представим событие A ∪ B в виде суммы двух несовмест-

ных событий A∪ B = A + ЇAB , а событие B в виде суммы двух несовместных

событий B = ΩB = (A + ЇA)B = AB + ЇAB . Отсюда, по аксиоме сложения

следуют два числовых равенства:

P (A ∪ B) = P (A) + P ( ЇAB), P (B) = P (AB) + P ( ЇAB).

10

Подставив выражение P (B) − P (AB) для P ( ЇAB) из второго равенства в

первое, получим доказываемую формулу сложения вероятностей .

Из формулы сложения вероятностей по индукции выводится общая

формула вероятности суммы любого конечного числа событий. В частности,

формула вычисления вероятности суммы трех событий имеет вид

P (A ∪ B ∪ C ) = P (A) + P (B) + P (C ) − P (AB) − P (AC) − P (BC ) + P (ABC ).