1.6 Формула полной вероятности и формулы Байеса

Многие практически выжные задачи сформулированы таким образом,

что при их решении заданы или достаточно просто вычисляются вероятно-

сти гипотез и условные вероятности нужного события при каждой гипотезе.

25

В вероятностной модели данной задачи гипотезами называют систему со-

бытий, образующих полную группу. Таким образом, гипотезы попарно несов-

местны и в сумме дают все простратнство элементарных событий:

H₁+ H₂+ · · · + H_n= Ω, H_iH_j= ∅, i6= j.

Пусть далее требуется найти вероятность некоторого события A , если из-

вестны положительные вероятности гипотез H₁, H₂, . . . , H_nи условные ве-

роятности события A при каждой из гипотез.

Формула полной вероятности. Если известны положительные ве-

роятности гипотез

P (H₁) > 0, P (H₂) > 0, . . . , P (H_n) > 0

и условные вероятности события A при каждой гипотезе

P_H1⁽A), P_H2⁽A), . . . , P_Hn⁽A),

то вероятность события A вычисляется по следующей формуле:

P (A) = P (H₁) · P_H1⁽A) + P (H₂) · P_H2⁽A) + · · · + P (H_n) · P_Hn⁽A).

Представим интересующее нас событие A в виде

A = AΩ = A(H₁+ H₂+ · · · + H_n) = AH₁+ AH₂+ · · · + AH_n.

Тогда по формуле расчета вероятности суммы несовместных событий имеем

P (A) = P (AH₁) + P (AH₂) + · · · + P (AH_n).

Используя для каждого слагаемого в предыдущей формуле правило умноже-

ния вероятностей, получим окончательно формулу полной вероятности.

Пример. Частица пролетает мимо трех счетчиков, причем она может

попасть в каждый из них с вероятностями 0, 3 , 0, 2 и 0, 4 . Если частица

попадает в первый счетчик, то она регистрируется с вероятностью 0, 6 , во

второй с вероятностью 0, 5 и в третий с вероятностью 0, 55 .

Найти вероятность того, что частица будет зарегистрирована (событие A ).

Решение. В данном случае вероятность первой гипотезы P (H₁) рав-

на 0, 3 , вероятность второй P (H₂) равна 0, 2 и вероятность третьей P (H₃)

равна 0, 4 . Три указанные гипотезы несовместны, однако они не составля-

ют полной группы событий. Необходимо добавить гипотезу H₄о том, что

частица не попадет ни в один из счетчиков. Так как вероятности всех гипо-

тез в сумме дают единицу, то P (H₄) = 0, 1 . Условные вероятности события

26

A при выполнении каждой гипотезы равны: P_H1⁽A) = 0, 6 , P_H2⁽A) = 0, 5 ,

P_H3⁽A) = 0, 55 и P_H4⁽A) = 0 . По формуле полной вероятности получим

P (A) = 0, 3 · 0, 6 + 0, 2 · 0, 5 + 0, 4 · 0, 55 + 0, 1 · 0 = 0, 5.

В рамках модели расчета полной вероятности рассмотрим задачу пере-

оценки вероятностей гипотез после того, как поступит дополнительная ин-

формация о событии A . Считая, что до опыта были известны (априорные)

вероятности гипотез и условные вероятности события A при каждой из гипо-

тез, решим задачу о нахождении условных вероятностей гипотез (апостери-

орных вероятностей гипотез) в предположении, что событие A осуществится.

Формулы Байеса переоценки вероятностей гипотез. Если из-

вестны положительные вероятности гипотез

P (H₁) > 0, P (H₂) > 0, . . . , P (H_n) > 0

и условные вероятности события A при каждой гипотезе

P_H1⁽A), P_H2⁽A), . . . , P_Hn⁽A),

то условные вероятности гипотез при том, что событие A с положи-

тельной вероятностью произойдет, вычисляются по формулам

P (H_j) · P_Hj⁽A)

P_A(H_j) =

n

∑

k=1

P (H_k) · P_Hk⁽A)

; j = 1, 2, . . . , n.

Действительно, условные вероятности гипотез вычисляют по формулам

P (AH_j)

P_A(H_j) =

P (A)

, P (A) > 0, j = 1, 2, . . . , n.

Выражая вероятности произведения событий P (AH_j), j = 1, 2, . . . , n в чис-

лителях данных формул по формуле умножения вероятностей

P (AH_j) = P (H_j) · P_Hj⁽A), P (H_j) > 0, j = 1, 2, . . . , n

и подставляя в знаменатель значение вероятности события P (A) , вычислен-

ное по формуле полной вероятности, получим выводимые формулы.

Пример. Три завода выпускают одинаковые изделия, причем первый

завод производит 50% , второй 20% и третий 30% всей продукции.

Первый завод допускает 1% брака, второй 8% и третий 3% . Наудачу

выбранное изделие оказалось бракованным (событие A ). Найти вероятность

того, что оно изготовлено на втором заводе.

27

Решение. Имеются три гипотезы: H₁ изделие изготовлено на первом

заводе, H₂ на втором и H₃ на третьем. По условию задачи P (H₁) = 0, 5 ,

P (H₂) = 0, 2 , P (H₃) = 0, 3 , P_H1⁽A) = 0, 01 , P_H2⁽A) = 0, 08 , P_H3⁽A) = 0, 03 .

Условная вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на

втором заводе вычисляется по формуле Байеса следующим образом:

P_A(H₂) =

P (H₂) · P_H2⁽A)

3

=

0, 2 · 0, 08

0, 5 · 0, 01 + 0, 2 · 0, 08 + 0, 3 · 0, 03

=

8

15

.

∑

k=1

P (H_k) · P_Hk⁽A)

28