2.3.4 Нормальное распределение

Нормальное распределение занимает в теории вероятностей и матема-

тической статистике центральное место, поскольку оно часто реализуется при

решении практических задач и удобно при теоретических исследованиях.

Определение нормального распределения. Случайная величина

X называется распределённой по нормальному закону (имеет распределение

Гаусса) с параметром положения µ ∈ R и параметром масштаба σ > 0 ,

если её плотность распределения вероятностей имеет вид

f (x) =

σ

1

√

2π

e−

(_x−µ)2

2σ2 .

Любая плотность распределения должна быть неотрицательной функ-

цией, удовлетворяющей условию нормировки. Как видно, плотность нормаль-

ного распределения положительна и удовлетворяет условию нормировки:

+∞

∫

+∞

∫

1

(_x−µ)2

1

+∞

∫

1 x−µ²

( x − µ

−∞

f (x)dx =

−∞

σ

√

2π

e−

2σ2 dx = √

2π

+∞

1 ∫ z²

−∞

e−₂( σ⁾d

σ

=

= √

2π

−∞

e−₂dz = 1.

При вычислении интеграла была сделана замена переменной z = (x − µ)/σ

и использован известный интеграл Пуассона

+∞

∫

−∞

2

e−^z2 dz =

√

2π .

Если по аналогичной схеме вычислить по общим формулам математи-

ческое ожидание и дисперсию нормального распределения, то получим, что

математическое ожидание m_xсовпадает с параметром положения µ , а стан-

дартное отклонение σ_xс параметрм масштаба σ :

m_x= µ, σ_x= σ.

Отсюда, в частности, следует, что стандартная нормальная случайная вели-

чина Z = (X − m_x)/σ_xимеет плотность распределения вероятностей ϕ(z) с

параметром положения µ = 0 и параметром масштаба σ = 1

1

ϕ(z) = √

2π

z²

e−₂.

На Рис. 8 представлен график плотности ϕ(z) стандартного нормаль-

ного (гауссового) распределения с параметрами µ = 0 и σ = 1 .

59

Рис. 8

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины

имеет специальное обозначение Φ(z) и выражается через плотность распре-

деления вероятностей с параметрами µ = 0 , σ = 1 в следующем виде:

z

1

Φ(z) = √

2π

∫

−∞

t²

e−₂dt.

Интеграл справа не выражается через элементарные функции, называется

функцией Лапласа и с учетом важности нормального распределения для

практических приложений представлен в виде подробных таблиц в справоч-

никах и в виде стандартных процедур в статистических пакетах.

Так как ϕ(−z) = ϕ(z) , то плотность стандартного нормального распре-

деления является четной функцией. Отсюда вытекает следующее равенство:

Φ(−z) = 1 − Φ(z).

Для вывода равенства выполним преобразования:

+∞

1

1 = P (Ω) = P (Z < z) + P (Z ≥ z) = Φ(z) + √

2π

−∞ −z

∫

z

t²

e−₂dt =

1

∫

u²

1

∫

u²

= Φ(z) − √

2π

−z

e−₂du = Φ(z) + √

2π

60

−∞

e−₂du = Φ(z) + Φ(−z).

Полученные равенства

ϕ(−z) = ϕ(z) , Φ(−z) = 1 − Φ(z)

позволяют иметь таблицы значений плотности стандартного нормального

распределения и функции Лапласа только для положительных значений z .

В некоторых руководствах приводятся таблицы значений функции

z

Φ₀(z) =

∫

0

u²

e−₂du.

Из условия Φ(−z) = 1 − Φ(z) следует равенство Φ(0) = 1 − Φ(0) . Отсюда

получаем, что Φ(0) = 0, 5. Так как справедливы следующие преобразования

1

z

∫

t²

1

0

∫

t²

1

z

∫

t²

Φ(z) = √

2π

−∞

e−₂dt = √

2π

−∞

e−₂dt + √

2π

0

e−₂dt = 0, 5 + Φ₀(z),

то формула, связывающая функцию Лапласа Φ(z) и функцию Φ₀(z) , имеет

следующий вид:

Φ(z) = 0, 5 + Φ₀(z).

На Рис. 9 представлен график стандартного нормального распределения

(функции Лапласа).

Рис. 9

Так как плотность f (x) нормального распределения всюду непрерыв-

на, то функция распределения F (x) дифференцируема на всей числовой пря-

61

мой, причем F⁰(x) = f (x), x ∈ R . Отсюда, учитывая, что функция плотно-

сти распределения вероятностей при всех x ∈ R положительна, следует, что

функция нормального распределения всюду строго возрастает .

Функция нормального распределения F (x) с параметрами µ и σ вы-

ражается через функцию Лапласа Φ(x) по следующим формулам:

F (x) = Φ

( x − µ

σ

= Φ

(x − m_x

σ_x

.

Действительно, используя общее определение функции распределение, полу-

ченные ранее формулы m_x= µ и σ_x= σ и выполнив необходимые тожде-

ственные преобразования, получим:

F (x) = P (X < x) = P

( X − m_x

σ_x

<

x − m_x

σ_x

= Φ

( x − m_x

σ_x

= Φ

( x − µ

σ

.

Отсюда вытекает также, что квантили x_pобщего нормального распределе-

ния выражаются через квантили z_pфункции Лапласа по формулам

x_p= µ + σz_p= m_x+ σ_xz_p.

При вычислении квантилей z_pстандартного нормального распределения до-

статочно иметь таблицу квантилей только для вероятностей p ≥ 0, 5 . Для

вероятности p < 0, 5 квантили находят по следующей формуле:

z_p= −z₁−p^,0 < p < 0, 5 .

Действительно, так как функция Φ(z) строго возрастает, то для нее суще-

ствует обратная функция Φ−1₍p) и справедливы следующие преобразования:

Φ(−z_p) = 1 − Φ(z_p) = 1 − p ⇒ Φ−1[Φ(−z_p)] = Φ−1₍₁− p) ⇒ −z_p= z₁−p^.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X

с математическим ожиданием m_x= µ и стандартным отклонением σ_x= σ в

диапазон значений от a до b выражается с помощью нормальной стандарт-

ной функции распределения Φ(z) по формулам:

P (a ≤ X < b) = Φ

( b − m_x

σ_x

− Φ

(a − m_x

σ_x

= Φ

( b − µ

σ

− Φ

(a − µ

σ

,

так как справедливы следующие равенства:

( b − m_x

( a − m_x

P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a) = Φ

σ_x

− Φ

σ_x

.

Пример. Вычислим вероятность попадания нормально распределен-

ной случайной величины в интервал (m_x−l; m_x+ l) длины 2l , симметричный

относительно математического ожидания m_x.

62

Данная вероятность вычисляется по приведенной выше формуле в виде:

P (m_x− l < X < m_x+ l) = Φ

( m_x+ l − m_x

σ_x

− Φ

( m_x− l − m_x

σ_x

=

= Φ

( l

σ_x

− Φ

( −l

σ_x

= Φ

( l

σ_x

−

[

1 − Φ

( l ]

σ_x

= 2Φ

( l

σ_x

− 1.

Если, конкретно, рассмотреть интервал (m_x− 3σ_x; m_x+ 3σ_x) длины 6σ_x, то

получим вероятность того, что нормально распределенная случайная вели-

чина принимает свои значения в диапазоне от m_x− 3σ_xдо m_x+ 3σ_x. По

таблице значений функции Лапласа находим, что Φ(3) = 0, 99865 . Тогда

P (m_x− 3σ_x< X < m_x+ 3σ_x) = 0, 9973 . Отсюда, вероятность противо-

положного события: ѕCлучайная величина выйдет за диапазон значений от

m_x− 3σ_xдо m_x+ 3σ_xї равна 0,0027. Так как данная вероятность достаточно

мала, то при решении практических задач часто применяют, так называемое

правило трех сигм: ѕПрактически невозможно, что некоторая величина

выйдет за диапазон трех сигм за счет случайных факторовї.

Ранее отмечалось, что биномиальное распределение с параметрами n и

p аппроксимируется нормальным распределением с математическим ожида-

нием np и стандартным отклонением Ⲛ_np(1 − p) =

√

npq , если только вы-

полняются условия np(1−p) > 5 и 0, 1 < p < 0, 9 . При условии np(1−p) > 25

это приближение можно применять при любых p . Пусть при указанных усло-

виях требуется вычислить вероятность попадания биномиальной случайной

величины в диапазон значений от k₁до k₂. Полагая в формуле вычисления

вероятности попадания нормальной случайной величины в промежуток от a

до b , m_x= µ = np , σ_x= σ =

√

npq , k₁= a , k₂= b , получим

( k₂− np ( k₁− np

P (k₁≤ X < k₂) = Φ

√_npq

− Φ

√_npq.

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна

0,75. Найти вероятности того, что при 300 выстрелах: а) будет ровно 210

попаданий; б) будет от 210 до 240 попаданий.

Решение. В данной задаче дискретная случайная величина: ѕЧисло

попаданийї имеет биномиальное распределение с параметрами n = 300 и

p = 0, 75 . Найдем её математическое ожидание m_B= np = 225 и стан-

дартное отклонение σ_B=

√

npq =

√

300 · 0, 75 · 0, 25 = 7, 5 . Как видно, в

данном случае биномиальное распределение можно аппроксимировать нор-

мальным распределением с математическим ожиданием m_x= m_B= 225

и стандартным отклонением σ_x= σ_B= 7, 5 . Отсюда, сначала используя

63

таблицу значений плотности стандартного нормального распределения ϕ(z)

находим требуемую в пункте а) задачи вероятность в виде

P {X = 210} =

1

√_npqϕ

( k − np

√_npq=

1

ϕ

(210 − 225

=

7, 5

7, 5

= ϕ(−2)/7, 5 = ϕ(2)/7, 5 = 0, 054/7, 5 = 0, 0072.

Далее вычисляем требуемую в пункте б) задачи вероятность в виде

P (210 ≤ X ≤ 240) = Φ

(240 − 225

7, 5

− Φ

( 210 − 225

7, 5

=

= Φ(2) − Φ(−2) = 2Φ(2) − 1 = 2 · 0, 977 − 1 = 0, 954.

Распределение Пуассона при значениях параметра λ > 9 может быть

достаточно точно приближено нормальным распределением с математиче-

ским ожиданием m_x= λ и стандартным отклонением σ_x=

√

λ . При данном

условии вероятность попадания случайной величины, имеющей распределе-

ние Пуассона, в диапазон значений от k₁до k₂вычисляется по формуле:

( k₂− λ

( k₁− λ

P (k₁≤ X < k₂) = Φ

√

λ

− Φ

√

λ

.

Пример. Среднее число вызовов на телефонной станции за одну ми-

нуту равно m_x= λ = 16 . Найти вероятности следующих событий:

A = {X ≥ 20}, A = {10 ≤ X ≤ 20}.

Решение. Так как параметр распределения Пуассона больше девя-

ти, то распределение случайной величины X ѕЧисло вызовов за одну ми-

нутуї можно аппроксимировать нормальным распределением с математиче-

ским ожиданием m_x= λ = 16 и стандартным отклонением σ_x=

√

λ = 4 .

Отсюда, используя таблицу значений функции Лапласа, получим искомые

вероятности в следующем виде:

( 20 − 16

P {X ≥ 20} = 1−P {X < 20} = 1−Φ = 1−Φ(1) = 1−0, 84 = 0, 16,

4

P {10 ≤ X ≤ 20} = Φ

(20 − 16

4

− Φ

( 10 − 16

4

=

= Φ(1) − Φ(−1, 5) = Φ(1) − (1 − Φ(1, 5)) = 0, 84 − (1 − 0, 93) = 0, 77.

Функция нормального распределения всюду строго возрастает, поэтому

медиана h_xнаходится как единственное решение уравнения F (h_x) = 0, 5 .

64

Так как F (h_x) = Φ^hx−σ_xm_x, то данное уравнение равносильно уравнению

Φ^hx−m_x

= 0, 5 . Учитывая, что квантиль уровня 0,5 функции Лапласа ра-

σ_x

вен нулю, получим^hx−m_x

σ_x= 0 и h_x= m_x.

Таким образом, у нормального распределения медиана совпадает с ма-

тематическим ожиданием и равна параметру положения µ .

Для вычисления моды d_xнормального распределения исследуем функ-

цию плотности f (x) на локальный максимум, анализируя ее производную

x − µ

(_x−µ)2

f⁰(x) = −

σ³

√

2π

e−

2σ2 .

Приравнивая первую производную нулю, получим значение единственной

точки экстремума в виде x = µ . Так как при x < µ производная f⁰(x)

положительна, а при x > µ производная f⁰(x) отрицательна, то данная точ-

ка x = µ является точкой максимума.

Таким образом, мода d_xнормального распределения равна параметру

положения µ и совпадает с математическим ожиданием и медианой, т. е.

m_x= h_x= d_x= µ.

Плотность нормального распределения симметрична относительно ма-

тематического ожидания, поэтому третий центральный момент равен нулю

и, соответственно, коэффициент асимметрии a_x= µ₃/σ_x3 равен нулю.

Непосредственно по определению вычисляется четвертый центральный

момент µ₄= 3σ⁴= 3σ_x4 . Отсюда коэффициент эксцесса e_x= µ₄/σ_x4 − 3 для

нормального распределения также равен нулю.