Тема 4. Математические модели в науке как средство работы с информацией. Функция как математическая модель

Занятие 4.1. Математическое моделирование

Основное содержание

Определение математической модели. Для чего нужны математические модели. Простые и сложные модели. Примеры математических моделей. Этапы моделирования. Схема процесса математического моделирования.

Приведем пример фрагмента содержания занятия.

Некоторые ученые отмечают, что вся математика может быть сведена к двум типам деятельности: моделированию и систематизации.

По мнению крупнейших математиков, предметом математики являются модели. «Математика – область человеческой деятельности (человеческого знания), в которой изучаются математические модели, то есть логические структуры, у которых описан ряд отношений между элементами структуры» (по словам Л.Д.Кудрявцева).

«Математика – наука о схемах моделей окружающего мира. Примером схем моделей служат математические понятия» (М.М.Постников).

Итак, поговорим о моделировании.

Можно сформулировать следующее, очень общее, определение моделирования и модели.

Моделирование – общенаучное понятие, имеющее философский смысл.

Как Вы видите, это определение не говорит нам ничего. А что значит – определить понятие?

Полезная информация

Понятие является объектом рассмотрения различных наук, поэтому существуют различные трактовки этого понятия. В логике понятие рассматривается как форма абстрактного мышления, отражающая существенные признаки класса однородных предметов или отдельного предмета. С точки зрения философии понятие - это форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира. Свойство - это то, что каким-то образом характеризует вещь и не требует для своего описания более одной вещи (Н.Ф.Талызина)

Существенными свойствами понятия являются те свойства, без которых понятие (объект для понятия) не существует. При их помощи выделяются и обобщаются предметы интересующего нас множества. Например, можно выделить следующие существенные свойства ромба. Быть параллелограммом, являться четырехугольником, иметь равные все стороны, иметь равные противоположные углы; диагонали в точке пересечения делятся пополам, диагонали лежат на биссектрисах углов ромба и т.д.

Конечно, таких свойств у объекта может быть достаточно много, поэтому часто обращаются к достаточному набору свойств. Достаточные свойства или точнее достаточный набор существенных свойств - набор существенных свойств, который позволяет однозначно выделить интересующее нас множество объектов из всех остальных. Так, например, для ромба достаточный набор свойств могут образовывать свойства: быть параллелограммом и иметь все равные стороны. Другой достаточный набор: быть параллелограммом и иметь диагонали, делящие углы ромба пополам. Таких наборов может быть несколько. Они образуют либо определение понятия, либо его признаки.

Определить понятие – выделить достаточный набор его существенных свойств.

Таким образом, мы сталкиваемся с проблемой выделения существенных свойств процесса моделирования.

Модель – это такой материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект – оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Modulus по латыни – мера, образец.

Модели нас окружают с детства: машинки, конструкторы, кукольные домики, да и сами куклы – все это модели реальных объектов окружающего нас мира. Подрастая, мы узнавали о моделях одежды, моделях поведения, на экранах телевизоров мелькали фотомодели – все это некоторые идеализированные образы.

При проектировании сооружений, различных конструкций или механизмов используются их модели, которые позволяют изучить свойства проектируемого объекта, понять, каким должно быть оптимальное с точки зрения желаемых свойств объекта соотношение пропорций, качество используемых материалов, и т.д.

Принципиально иной характер имеют модели фундаментальных теорий. В них реальным объектам природы соответствуют идеализированные понятия и схемы, которые отражают вполне определенные свойства этих объектов.

Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, чем реальный объект.

С помощью модели выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта.

Моделирование свойственно всем областям знания. Однако в рамках той или иной области моделирование позволяет выделить наиболее характерные особенности объектов, существенные именно с точки зрения конкретной науки, отвлекаясь от множества второстепенных в области данной науки свойств.

Модель позволяет научиться правильно управлять объектом, апробируя различные варианты управления на модели этого объекта. На реальном объекте, как правило, экспериментировать в этих целях неудобно, а зачастую просто невозможно.

Если объект исследования обладает динамическими характеристиками, то особое значение приобретает задача прогнозирования динамики состояния такого объекта под действием различных факторов.

Таким образом, можно выделить следующие функции модели.

Функции модели:

1. Облегчает понимание устройства реального объекта: его структуры, основных свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром.

2. Способствует пониманию управления реальным объектом (или процессом) и определению наилучших способов управления им при заданных целях и критериях.

3. Облегчает прогнозирование прямых и косвенных последствий реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

Полезная информация

Люди издавна использовали моделирование как средство познания. Встречаясь в своей деятельности с чем-то неизвестным, человек, прежде всего, пытается сопоставить это неизвестное с уже известным ему. При таком сравнении происходит перенос знания со второго на первое, иными словами, известное выступает как модель неизвестного.

Специфика моделирования состоит в изучении объекта не непосредственно, а путем исследования другого объекта, аналогичного в определенном отношении первому.

Следовательно, использование моделирования характеризуется тем, что между объектом и субъектом (исследователем) стоит промежуточное звено – модель. Модель может служить средством познания объекта, давать новые знания о нем в том случае, если она выступает как своего рода мостик, соединяющий исследователя с объектом познания.

Вывод по аналогии тем более достоверен, чем больше мы знаем о признаках, свойственных исследуемым объектам. Человек не в состоянии охватить, отобразить всей природы в ее непосредственной цельности, он может лишь вечно приближаться к этому, создавая абстракции, понятия, законы и т.д.

Под моделью в разных областях человеческой деятельности понимают разное. Так, говорят о моделях обуви, одежды, технических сооружений, атома, Вселенной и т.д. Термин «модель» употребляется в двух смыслах:

- некоторой теории;

- описания, отражения некоторой теории.

В естественных науках, таких как физика, химия, биология термин «модель» употребляется в основном для обозначения того, что описывает теория. Здесь со словом «модель» связаны два значения. Во-первых, она выступает как некоторая идеализация, упрощение действительности (например, модели атомов в физике). Во-вторых, в более узком смысле, термин «модель» применяют для обозначения физической аналогии, как отношение сходства систем, состоящих из элементов разной физической природы, но обладающие одинаковой структурой (например, кристаллические решетки в химии).

Существуют и другие толкования термина «модель». На основе моделирования становится возможным предсказание существования объектов с заданными свойствами. Так, в 20-х годах XX века, исследуя уравнения квантовой механики, Дирак обнаружил решение уравнения, которое характеризовало некоторую гипотетическую элементарную частицу. Через несколько лет эта частица была экспериментально обнаружена и получила название позитрон. Аналогичным образом Ферми предсказал существование элементарной частицы нейтрино, которая была затем также экспериментально обнаружена.

Процесс построения математических моделей реально функционирующих систем очень сложен. Построение такой модели оценивается как выдающееся открытие. Так, в 1952 году англичане А.Л.Ходжкин и Э.Ф.Хаксли построили математическую модель, имитирующую распространение неравного импульса в живом организме. За это достижение они в 1963 г. были удостоены Нобелевской премии. Предложенная модель представляет собой систему дифференциальных уравнений, описывающих распространение нервного импульса. При этом оказалось, что модельные расчеты и данные, полученные экспериментальным путем, очень хорошо согласуются. Важность построенной модели для развития науки состояла в том, что исходя из небольшого количества экспериментальных данных оказалось возможным объяснить с единой позиции ряд явлений, которые раньше казались независимыми, а также предсказать новые.

В процессе моделирования исходный объект заменяется его моделью, которая исследуется с помощью различных средств (в частности, компьютера).

Таким образом, можно уточнить понятие моделирования.

Моделирование – это процесс создания, разработки моделей и их применения для познания новых свойств, новых качеств, новых адекватных по структуре или функциям объектов в определенной сфере деятельности человека.

В основе общепринятой классификации научных моделей лежит понимание модели как средства отображения, воспроизведения той или иной части действительности с целью ее более глубокого познания.

Отношение между моделью и оригиналом (отношение отображения или воспроизведения) варьируется в зависимости от способа воспроизведения, то есть от тех средств, при помощи которых строится модель, либо от характера тех объектов, которые воспроизводятся в модели.

Материальные, или вещественные, реальные модели – конкретные модели, представляющие собой некоторые материальные объекты или совокупности объектов, отражающие в той или иной мере свойства объекта моделирования. Они воплощены в материальных предметах, изготовленных из различных материалов. Сюда же относят так называемые живые модели, которые отобраны человеком в силу присущих им свойств, позволяющих в упрощенной форме имитировать изучаемый сложный процесс (например, специально выведенные породы крыс для физиологических опытов).