Тема 3. Использование элементов теории множеств для работы с информацией

Занятие 3.1. Понятие множества и способы его задания

Основное содержание

Множество. Понятие. Элементы множества. Способы задания. Характеристическое свойство множества. Изображение множеств с помощью диаграмм Эйлера.

Приведем фрагмент содержания занятия.

Есть в математике одно понятие, которое охватывает самый широкий, который можно представить, класс объектов. Это понятие «множество». Оно обозначает совокупность объектов любой природы.

Понятие множества в математике не определяется, также как вы в геометрии не определяли, например, точку. Такое понятие называется основным понятием.

Вместо слова «множество» можно использовать другие, близкие по смыслу, слова. Так, можно сказать, что множество – это «совокупность», «собрание», «семейство», «система», «класс» и т.д. Однако такие утверждения не являются строгими математическими определениями. При этом мы можем пояснить, что такое множество. Множество – это совокупность каких-либо предметов, объектов, которые рассматриваются как единое целое.

Таким образом, понятие множества в математике является основным (неопределяемым) понятием.

Множества в математике обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

В жизни мы часто встречались со словами, которые обозначают множества конкретных объектов. Например, стая (птичья) — множество птиц.

Задание. Придумать по 3 примера множеств объектов, с которыми вы встречались. Желательно, чтобы они назывались особым словом. Например, гербарий – множество собранных и засушенных растений.

Каждый объект, который входит в данное множество, называется его элементом. Элементы множества в математике принято обозначать прописными буквами латинского алфавита. При этом, чтобы записать, что некий объект а является элементом множества А, используют знак  (принадлежности), т.е. пишут аА.

Читают эту запись по-разному — «а является элементом множества А» или «элемент а принадлежит множеству А».

Для того, чтобы записать, что объект b не является элементом множества А, используют знак , т.е. пишут bА.

Эту запись читают — «b не является элементом множества А» или «элемент b не принадлежит множеству А».

Отсюда понятно, что множество можно задать, перечислив все элементы, которые в него входят. Такой способ задания множества называется способом перечисления элементов множества.

Например, множество А состоит из трех чисел — 1,2 и 3. Эту фразу в математике записывают короче с помощью знака — фигурные скобки, т.е. А={1,2,3}.

Есть еще один способ задания множества — заданием характеристического свойства элементов, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент множества, и ни один из элементов, не входящих в множество, им не обладает. Именно это характеристическое свойство позволяет воспринимать совокупность элементов как единое целое.

Например, каждый элемент приведенного выше множества обладает следующим характеристическим свойством — они являются натуральными числами, меньшими четырем. Это записывают так: A = {x, х Î N| x<4}.

Расшифруйте следующую запись: B= {x, х Î R | x<4}. Здесь записано, что В — множество действительных чисел, меньших четырех. Это означает, что здесь характеристическим свойством задано множество, которое является следующим числовым промежутком В = (-¥; 4).

Задача. В группе 40 студентов. Из них 23 любят болтать на занятиях, 13 — решать задачи, 11 любят на занятиях спать. Среди тех, кто болтает на занятиях, постоянно засыпают — 7, а среди тех, кто решает задачи, засыпают только 3. Болтать и решать задачи умеют 8 человек; а 2 человека успевают на одной паре делать все три дела. Сколько студентов вообще ничего не любят?

Множество всех студентов группы — это объединение множества студентов, которые любят хоть что-то и множество тех, кто не любит ничего.

Решение: С помощью диаграммы Эйлера.

Задание. Расставьте числа, которые соответствуют числу студентов, находящихся в каждом множестве, изображенных на рисунке.

С хема 1.

Проверьте ответ. 9.

При этом количество студентов, которые любят хоть что-то = 11+13+23-3-7-8+2=31. Количество студентов, которые не любят ничего — (количество студентов в группе) — (количество студентов, которые что-то любят), т.е. 40-31 = 9.

Примеры задач для решения

1. Можно ли задать перечислением его элементов бесконечное множество? Почему?

2. Запишите множество, которым является множество 31-го июня в году.

Занятие 3.2. Отношения в множествах. Алгебра множеств

Основное содержание

Отношения в множествах: принадлежность, включение, равенство. Подмножества. Действия с множествами: пересечение и объединение множеств, разность множеств, дополнение множеств. Декартово произведение.

Приведем фрагмент содержания занятия.

Между элементом и множеством можно установить отношение принадлежности. Об этом мы говорили в первом пункте лекции. Как мы знаем, элемент может принадлежать или не принадлежать данному множеству.

Пример. А = {1,3, 9}. 3 ÎA, 10 ÏA

Отношения можно установить и между двумя множествами. Рассмотрим два отношения: включения и равенства.

Определение. Говорят, что множество В включается в множество А и пишут ВА, если всякий элемент множества В является элементом множества А. В этом случае множество В называется подмножеством множества А.

Например, множества А и В и отношение между ними можно изобразить в виде множеств точек соответствующей замкнутой области (в частности, круга). Такие изображения называются диаграммами Эйлера-Венна.

Модно привести и другой пример. Пусть даны множества М= {2,3,4,5.6} и N={2, 6}. Ясно, что N М. Это можно записать и так М N.

Заметим, что иногда множество в качестве элемента может содержать другое множество. Например, в множестве К = { 1, {2}, 3} три элемента, два из них числа — 1 и 3, и один элемент — множество, состоящее из одного числа {2}.

Задание. В учебниках математики можно встретить понятие «несобственное множество». Найдите в рекомендованном вам учебнике, какое множество называется несобственным подмножеством данного множества. Приведите примеры несобственных подмножеств для определенного множества.

Определение. Говорят, что множества A и B равны, и пишут A=B, если одновременно имеет место AB и BA, то есть каждый элемент множества A является элементом множества B, и каждый элемент множества B является элементом множества A.

Другими словами, два множества равны, если их элементы совпадают. Например, множества букв слов «множества» и «жеманство» равны, т.е.

{м, н, о, ж, е, с, в, а} = {ж, е, м, а, н, с, т, в, о}.

Из примера ясно, что для множества важно какие элементы в него входят, а вот порядок элементов не имеет значения. Еще важно, в множестве не записывают один и тот же элемент несколько раз.

Методический комментарий

Здесь целесообразно обратить внимание на то, что множество для другого множества может являться подмножеством или элементом.

Над множествами можно выполнять следующие действия (операции): пересечение, объединение, находить разность и декартово произведение.

Определение. Пересечением множеств A и B называется новое множество, которое обозначается AB и состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно множествам A и B, то есть AB={x  xA и xB}.

Например, если A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}, то AB={1, 3}.

Определение. Объединением множеств A и B называется новое множество, которое обозначается AB и состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B, то есть AB={x xA или xB}.

Например, если A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}, то AB={1, 2, 3, 4}.

Определение. Разностью множеств A и B называется новое множество, которое обозначается A\B и состоит из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, то есть A\B={x  xA и xB}.

Например, если A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}, то A\B={2}.

С разностью связано такое понятие как дополнение одного множества до другого.

Определение. Дополнением множества А до множества В, если АÌВ, называется множество, которое обозначается В(А) и состоит из всех элементов В, не принадлежащих А, т.е. В(А) = В\А при условии, что А Ì В.

Определение. Декартовым произведением множеств A и B называется новое множество, обозначаемое AB, элементами которого являются всевозможные пары (a, b), где aA, bB, то есть AB={(a, b)  aA, bB}.

Например, если A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}, то AB={(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4)}.

Кстати, с декартовым произведением связано понятие координатной плоскости. Ведь если рассматривать множество координат точек координатной плоскости, то оно является декартовым произведением RxR, где R — координаты точек оси х и оси у, соответственно.

Задание. Выполняется ли переместительный закон умножения для декартова произведения двух множеств, т.е. верно ли, что АхВ=ВхА? В качестве множеств А и В возьмите множества: А={2}; B={1,3}.

Задача12. Привести пример множеств A, B, C таких, что AB, BC, но A не является элементом множества С.

Пример рассуждений при решении задачи. По условию известно, что множество А должно являться элементом множества В. При этом в множество В могут входить и другие элементы, не являющиеся множествами, например, А ={1}, а В = {{1};2}. Аналогично построим множество С = {{{1};2}, 3}. В этом случае множество А не является элементом множества С. Это можно установить, выделив все элементы множества С и сравнив их с элементами множества А.

Задача 2. Выписать все собственные подмножества множества {1,2,3,4}. Выбрать среди них четыре различных подмножества A, B, C, D таких, что AB, CD, DB.

При анализе текста и решения первой задачи можно выделить следующие понятия: 1) множество, элемент множества, собственное (несобственное) подмножество множества.

Кроме того, обратите внимание на запись собственных подмножеств в пункте b): {{1;2}}, {{1;2};1}, {{1;2};2}, {1;2}.

Вторая задача опирается на вывод, полученные в первой задаче, а именно, что одно множество может быть элементом другого множества.

Для решения третьей задачи также используется понятие собственного подмножества, а также способ построения таких подмножеств. Далее из всех построенных подмножеств нужно выбрать четыре, которые бы удовлетворяли требованию задачи. Следует выяснить, можно ли найти несколько вариантов решения задачи, или решение единственное.

Запишите результаты работы с сериями задач данного цикла в таблицу. Обратите внимание на правильное употребление знаков ()и (). Первый знак используется в случае, когда устанавливается соответствующее отношение (принадлежности) между множеством и его элементом, второй — отношение включения между двумя множествами, т.е. в случае, когда одно множество является (не является) подмножеством другого множества.

Примеры задач для решения

1. Проверьте на примере множеств А={2}; B={1,3} и С={4,5} выполняется ли сочетательный закон для декартова произведения, т.е. верно ли, что (АхВ)хС= Ах(ВхС).

2. Верно ли сделаны записи: 1 Î А, {2,3} Ì А, 4 Ì А, если А = {1,{2,3}, 4}.

3. Пересечением или объединением множеств А = {5,7,8} и В ={1,5,6} является множество С = {1,5,6,7,8}?

4. Сколько элементов содержат следующие множества? Для пунктов а) и b) выписать все собственные подмножества данного множества

1. {1;2}

2. {{1;2};1;2}

3. {{1}}

4. {{1};1}

5. {{1};2;1}