2. Методическая подсказка к выполнению

• Определите, какие понятия и формулы используются в основной задаче серии, к какой группе комбинаций может быть отнесена основная задача (перестановки, размещения, сочетания). Используйте определения этих понятий и вид комбинации при решении каждой задачи серии.

• Если затрудняетесь с выбором вида комбинации и соответствующей формулы, то составьте несколько конкретных комбинаций для данной задачи и посмотрите, повторяются ли элементы в выборке, меняется ли состав в комбинации, и важен ли порядок следования элементов.

• Подумайте, чем отличается каждая следующая задача серии от предыдущей. Используйте способ решения предыдущей задачи для решения следующей задачи в каждой серии.

• Обратите внимание на запись результата в каждой задаче. Не забывайте использовать специальные знаки для отличия комбинаций размещения и сочетаний с повторением и без повторения элементов при их записи ( и ; и).

• Разберите решение задачи №… . Объясните подчеркнутые утверждения (или Ответьте на вопросы по приведенному решению).

• Найдите ошибку в приведенном решении задачи №… . Объясните, в чем состоит ошибка (или Исправьте решение, и приведите верное).

Приведем примеры решения некоторых задач:

Задача №1. (основная) У дизайнера имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами он может осуществить обивку стульев, если каждый стул декорируется только одним цветом ткани?

Подсказка: Приведите конкретные примеры обивки данных стульев. От чего зависят различные варианты обивки?

Решение: Обозначим цвета по первым буквам их названия: К, О, Ж, З, Г, С , Ф. Тогда возможны обивки: ККОФСК, ООООО, ГСОФЖ и др.

Так как стулья различны, то их можно расположить в различном порядке. Каждый стул может быть обит любой из 7 видов ткани (7 способов). Кроме того, в условии, не сказано, что обивка каждого стула должна отличаться от другого стула, значит, на разных стульях она может повторяться. В частности, все стулья могут быть обиты одним видом ткани. Т.е., если представлять каждый стул как элемент, то каждый элемент может быть выбран любым из 7 способов (вид ткани). Наглядно это можно представить в виде строки ячеек:

7

7

7

7

7

Значит, всего способов обивки столько, сколько имеется размещений с повторениями из 7 элементов по 5. По формуле находим: . Ответ: 16807 способов обить 5 различных стульев.

Используемые понятия: порядок элементов, способы выбора элементов, одинаковые способы, размещение с повторениями.

Задача №2. На родительском собрании из 40 человек избирается секретарь, казначей и три представителя в родительский комитет класса, каждый из которых уже не может быть казначеем или секретарем. Сколько существует возможностей выбора этих пяти человек?

Подсказка: Зависит ли выбор казначея и секретаря от выбора трех представителей в родительский комитет класса? Для какого выбора (казначей и секретарь или 3 члена комитета) важен порядок избрания?

Решение: Выберем сначала казначея и секретаря. Вариантов выбора этих двух человек из 40 будет . Размещения здесь потому, что этот выбор зависит от порядка, например, «Иванов — казначей, Петров — секретарь» и «Петров — казначей, Иванов — секретарь» — это разные варианты. Затем из оставшихся 38 человек изберем 3 человека в родительский комитет класса, причем не важно в каком порядке они в эту комитет попадут. Это делается способами. В силу того, что мы должны выбрать одновременно эти 5 человек, то по правилу произведения всего вариантов: .

Можно было действовать иначе: сначала выбрать комитет способами, а затем казначея и секретаря способами. Всего вариантов:

. Ответ: 13160160 способов выбрать казначея, секретаря и трех представителей в родительский комитет класса.

Используемые понятия: порядок элементов, различные элементы, размещение без повторения, сочетания без повторения.

Примечание: Как изменилось бы решение, если бы вопрос формулировался так: сколько существует возможностей выбора, если надо выбрать казначея и секретаря или трех представителей в родительский комитет класса из представленных 40 человек? Число способов увеличилось бы или уменьшилось?

3. Описание ресурсов, необходимых для решения (тексты, фрагменты документов, образовательных программ и т. д.).

• Лекции и практические занятия по теме (примеры решения задач).

• Рекомендованные источники из списка основной литературы ([1]), дополнительной литературы ([2]).

• Адреса Интернет-ресурсов:

• http://www.math.ru/ — математический сайт, в библиотеке которого представлены полнотекстовые книги по комбинаторике и теории вероятностей (раздел «Теория вероятностей»).

• http://cito-web.yspu.yar.ru/cito/cito.html — электронный ресурс для общего доступа Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского. В методических пособиях по математике представлен материал по теории вероятностей и комбинаторике.