Тема 7. Элементы математической статистики. Статистическое распределение выборки

Методический комментарий.

Приступая к изучению этой темы целесообразно начать со следующих вводных замечаний.

В нашей повседневной жизни мы, сами о том не догадываясь, постоянно занимаемся статистикой. Хотим ли мы спланировать бюджет, рассчитать потребление бензина автомашиной, оценить усилия, которые потребуются для усвоения какого-то курса, с учетом полученных до сих пор отметок, предусмотреть вероятность хорошей и плохой погоды по метеорологической сводке или вообще оценить, как повлияет то или иное событие на наше личное или совместное будущее, – нам постоянно приходится отбирать, классифицировать и упорядочивать информацию, связывать ее с другими данными так, чтобы можно было сделать выводы, позволяющие принять верное решение.

Все эти виды деятельности мало отличаются от тех операций, которые лежат в основе научного исследования и состоят в синтезе данных, полученных на различных группах объектов в том или ином эксперименте, в их сравнении с целью выяснить черты различия между ними, в их сопоставлении с целью выявить показатели, изменяющиеся в одном направлении, и, наконец, в предсказании определенных фактов на основании тех выводов, к которым приводят полученные результаты. Именно в этом заключается цель статистики в науках вообще, особенно в гуманитарных. В последних нет ничего абсолютно достоверного, и без статистики выводы в большинстве случаев были бы чисто интуитивными и не могли бы составлять солидную основу для интерпретации данных, полученных в других исследованиях.

Статистика содержит три главных раздела, к которым относятся: описательная статистика, индуктивная статистика и корреляционный анализ.

1) Описательная статистика, позволяет описывать, подытоживать и воспроизводить в виде таблиц или графиков данные того или иного распределения, вычислять среднее для данного распределения и его размах и дисперсию.

2) Задача индуктивной статистики заключается в проверке того, можно ли распространить результаты, полученные на отдельной выборке, на всю популяцию, из которой взята эта выборка. Иными словами, правила этого раздела статистики позволяют выяснить, до какой степени можно путем индукции обобщить на большее число объектов ту или иную закономерность, обнаруженную при изучении их ограниченной группы в ходе какого-либо наблюдения или эксперимента. Таким образом, при помощи индуктивной статистики делают какие-то выводы и обобщения, исходя из данных, полученных при изучении выборки.

3) Корреляционный анализ позволяет узнать, насколько связаны между собой две переменные, с тем чтобы можно было предсказывать возможные значения одной из них, если мы знаем другую.

(http://window.edu.ru/window/library/pdf2txt?p_id=18331)

В целях активизации учебно-познавательной деятельности студентов на практических занятиях необходимо, чтобы актуализацию теоретического материала по некоторым темам проводили сами студенты, в виде небольшого сообщения. В связи с этим изменяется роль преподавателя — она состоит в определении основных вопросов рассмотрения изучаемого объекта, а также в оказании консультативной помощи по вопросам, возникающим в ходе подготовки сообщения студентом.

Так, например, на первом практическом занятии по теме «Дискретные случайные величины. Нормальное распределение» студентам могут быть предложены следующие вопросы для подготовки сообщений:

1. Понятия «случайная величина», «значения случайной величины». Примеры. Обозначения случайных величин, значений случайной величины.

2. Виды случайных величин.

3. Понятие «закон распределения дискретной случайной величины».

4. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины. Примеры.

Подготовку к такому сообщению студент должен начинать как минимум за 2 занятия до изучения темы, с тем, чтобы оставалось время на личную или виртуальную консультацию с преподавателем по возникающим вопросам. Кроме того, в ходе выполнения данного задания студенты могут обратиться к методическим рекомендациям по выполнению вариативной части самостоятельной работы, в частности, к заданию № 8. Подготовка сообщения к занятию. Преподавателю стоит время от времени напоминать обучающимся, какими источниками информации они могут воспользоваться в ходе освоения данной дисциплины, где найти методическую помощь или получить консультацию.

Занятие 7.2. Первичная обработка опытных данных при изучении случайной величины

Методический комментарий

Значимость практических занятий состоит в возможности совместного обсуждения студентов и преподавателя тех вопросов, разрешение которых требуют постановки новых проблем; проведения обобщений полученных результатов. Это могут быть вопросы чисто теоретического характера или представляющие практическую значимость. Именно на практических занятиях при непосредственном общении необходимо акцентировать внимание студентов, соответствующего направления подготовки, на связи математики с их профессиональной сферой. Это становится важным в связи с тем, что для понимания поставленной задачи необходимо находить точки соприкосновения наук, поскольку научный понятийный аппарат не всегда является универсальным; для построения математической модели профессиональной задачи требуется производить интерпретацию профессиональной терминологии на математический язык и наоборот, устанавливать межпредметные связи и т.д., все это требует обсуждения и определенных договоренностей.

На одном из первых занятий по теме «Элементы математической статистики. Статистическое распределение выборки» студентам (профиля «Историческое образование») может быть предложено следующее задание:

Задание «Президентские выборы»

Во время президентских выборов в 1936 году журнал «Литрери Дайджест», успешно прогнозировавший события нескольких предшествующих выборов, ошибся в своих предсказаниях, разослав десять миллионов пробных бюллетеней своим подписчикам; людям, выбранным по телефонным книгам всей страны; и людям из регистрационных списков автомобилей. В 25 % вернувшихся бюллетеней (почти 2,5 миллиона) голоса были распределены следующим образом:

57 % отдавали предпочтение кандидату-республиканцу Альфу Лэндону

40 % выбрали действующего в то время президента-демократа Франклина Рузвельта.

На действительных же выборах, как известно, победил Рузвельт, набрав более 60 % голосов.

Объясните, чем обусловлена ошибка журнала при прогнозировании результатов президентских выборов. Учитывайте тот факт, что большинство подписчиков журнала «Литрери Дайджест» считали себя республиканцами.

Решение: данная выборка не является репрезентативной. Несмотря на то, что, желая увеличить репрезентативность выборки (так как журналу было известно, что большинство их подписчиков считают себя республиканцами), была расширена выборка за счет людей, выбранных из телефонных книг и регистрационных списков автомобилистов. Однако не были учтены условия того времени, и в действительности было набрано еще больше республиканцев. В начале ХХ века (время Великой депрессии) обладать телефонами и автомобилями могли себе позволить в основном представители среднего и верхнего класса, то есть большинство республиканцев, а не демократов.

На первый взгляд, кажется, что данное задание не имеет математической значимости и его не стоит рассматривать в ходе изучения дисциплины «Основы математической обработки информации», оставив для предметной области социологии. Тем более что чаще всего в ходе изучения математической статистики предлагаются задачи, в которых выборка из генеральной совокупности уже произведена, и полученные данные необходимо обработать. Однако ситуации, связанные с разрешением такого типа задач, обладают общекультурной ценностью.

На этом задании студентам может быть продемонстрирован пример того, что математическая модель, адекватная с точки зрения математики, но построенная на заведомо ложном предположении (нерепрезентативная выборка), приводит к неверному результату. Поэтому преподавателю крайне важно донести до студентов мысль о том, что, несмотря на универсальность математической науки, в профессиональной области она выступает только в качестве инструмента. И как любой инструмент она имеет определенную сферу применимости. Поэтому применение математических методов для изучения и исследования объектов реальной действительности представляет собой построение модели, которая при всей математической строгости, имеет ограничения, накладываемые самой реальностью. Необходимость учета этих ограничений при интерпретации полученных математических результатов оказывается напрямую связанной с уровнем профессиональной компетентности будущего специалиста.