Примерный вариант цикла задач по теме: «Комбинаторика и комбинаторные задачи»

Серия 1.

Задача №1. Три студента были выбраны в качестве актива студенческой группы. Сколько существует различных способов назначения их на должности старосты, заместителя старосты, профорга, если один студент не может занимать более одно должности?

Задача № 2. Верно ли решение следующей задачи?

У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых мандарина и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течение 9 дней она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами она может это сделать?

Решение: на каждый день мама выбирает для сына один из 9 фруктов, в силу того, что соответствующие фрукты одинаковые, то в какие-то дни возможен повтор (например, 2 одинаковых яблока), однако важно, что есть возможность выбора между яблоком, мандарином и апельсином, т.е. эта схема перестановок фруктов с повторениями (яблоко 2 раза, мандарин 3 раза, апельсин 4 раза), значит Р(2, 3, 4)=1260.

Задача № 3. Сколько нечетных и сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 3694, если каждую цифру надо использовать один раз.

Задача № 4. На первые две линии произвольным образом ставятся белые и черные фигуры (король и ферзь каждого цвета, по 2 ладьи, 2 слона, 2 коня). Сколькими способами это можно сделать? А если расставлять на всей доске? А если расставлять и все пешки?

Задача № 5. На званый вечер приглашены 5 мужчин и 5 женщин. Напротив каждого места на стол необходимо поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть, но никакие два лица одного пола не должны сидеть рядом. Сколькими способами можно расставить таблички? А если они садятся на карусель, и способы, переходящие друг в друга при вращении карусели, считаются совпадающими?

Серия 2.

Задача №1. У дизайнера имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами он может осуществить обивку стульев, если каждый стул декорируется только одним цветом ткани?

Задача № 2. Первого сентября на I курсе одного из факультетов запланировано по расписанию 4 занятия по разным предметам. Всего на I курсе изучается 11 предметов. Сколько существует способов составить расписание на 1 сентября?

Задача № 3. Известно, что в комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга).

Сформулируйте вопрос к этому условию, чтобы получилась задача, имеющая своим решением следующую формулу:

Задача № 4. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было выполнять переводы с любых из 5 языков на любой из этих пяти языков? На сколько больше словарей придется издать, если число языков равно 10?

Задача № 5. На родительском собрании из 40 человек избирается секретарь, казначей и три представителя в родительский комитет класса, каждый из которых уже не может быть казначеем или секретарем. Сколько существует возможностей выбора этих пяти человек?

Серия 3.

Задача № 1. Сколькими способами можно выбрать 3 диска по математике из медиатеки факультета (25)?

Задача № 2. Верно ли, что при голосовании 91 способом можно опустить 12 бюллетеней в 3 урны, расположенных на участке голосования?

Задача № 3. Придумайте задачу с реальными объектами, решение которой основывалось бы на использовании формулы: а) ; б)

Задача № 4. Из состава конференции, на которой присутствуют 52 человека, надо избрать президиум в составе 5 человек и делегацию в составе трех человек. Сколькими способами может быть произведен выбор, если члены президиума могут войти в состав делегации? А если не могут?

Задача № 5. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт есть хотя бы 1 туз? Ровно 1 туз?