- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості ………………………………… 48
- •Розділ 1. Вступні зауваження і факти
- •§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
- •§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел
- •§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція
- •§4 Ряди комплексних чисел
- •§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
- •Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції
- •§1 Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування
- •Доведення
- •§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
- •§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею
- •§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості
- •§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
- •§6 Показникова та степенева функції в комплексній області
- •Розділ 3. Інтеграл в комплексній області
- •§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості
- •§2 Інтегральна теорема Коші
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Інтегральна формула Коші та наслідки з неї
- •Доведення
- •Доведення
- •Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області
- •§1 Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій
- •Доведення
- •§2 Степеневі ряди в комплексній області
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Ряди Лорана
- •Доведення
- •Розділ 5. Лишки та їх застосування
- •§1 Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків
- •§3 Принцип аргументу
- •Доведення
- •§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої точки
- •Висновок
- •Список використаної літератури:
§4 Ряди комплексних чисел
В цьому параграфі ми будемо займатися рядами виду
, (1)
де - комплексні числа.
Поняття збіжності і розбіжності таких рядів вводяться так само як і в дійсному аналізі. Ясно, що з таким рядом завжди будуть пов’язані 2 ряди дійсних чисел:
та () (2)
Легко довести, що справедливий такий факт:
Для того, щоб ряд (1) був збіжним необхідно і достатньо, щоб були збіжними обидва ряди (2).
У зв’язку з цим твердженням, ми помічаємо, що для вирішення проблеми збіжності ряду (1) ми можемо використовувати всі ознаки збіжності рядів з дійсного аналізу. А раз так, то очевидно над рядами виду (1) можна здійснювати операції додавання і множення на число.
Як і в дійсному аналізі, тут також розглядають абсолютно та умовно збіжні ряди.
Означення. Ряд (1) називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є ряд . (3)
Я
Зауважимо, що із збіжності ряду (3) випливає збіжність ряду (1). Таким чином для перевірки збіжності ряду (1) інколи можна перевіряти на збіжність ряд (3). У випадку негативної відповіді про збіжність ряду (3) треба безпосередньо працювати з рядами (1) або (2).
Наступна ознака дозволяє інколи одержувати позитивний результат відносно збіжності ряду (1) у випадках, коли ряд (3) розбіжний, не вдаючись до рядів (2).
Теорема (Ознака Абеля-Діріхле)
Нехай маємо ряд
. (4)
Якщо
1) ,
2),
3) збіжний ряд, тоді ряд (4) також збіжний.
Доведення цієї теореми одержується з допомогою перетворення Абеля. Добре було б одержати це доведення.
Використовуючи викладки, близькі до тих, які ми мали в дійсному аналізі, отримаємо:
Члени абсолютно збіжного ряду (1) можна довільним чином групувати переставляти місцями. Це на збіжність ряду не вплине.
Є суттєвий зв’язок між абсолютною збіжністю ряду (1) і абсолютною збіжністю рядів (2):
Для того, щоб ряд (1) був абсолютно збіжним, необхідно і достатньо, щоб були абсолютно збіжними ряди (2).
Це твердження випливає з таких нерівностей
, , .
З дійсного аналізу ми знаємо, що добуток двох рядів за Коші збіжний до добутку сум цих рядів, якщо хоча б один з цих рядів збіжний абсолютно.
Нагадаємо, що якщо ми маємо ряд
(5)
то добутком за Коші рядів (1) і (5) буде ряд
, (6)
де .
Відмітимо таке твердження:
Якщо ряди (1) і (5) абсолютно збіжні відповідно до чисел і , то їх добуток (ряд (6)) абсолютно збіжний до числа .
§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
Тут ми будемо займатися такими функціями.
Означення. Комплекснозначною функцією комплексного аргументу називатимемо закон, який кожному комплексному числу з деякої множини ставить у відповідність хоча б одне комплексне число з іншої множини .
Приклад.
Ми знаємо, що кожному комплексному числу відповідає коренів -го степеня з цього числа (за винятком двох точок: 0 і , яким відповідає єдина точка з розширеної комплексної площини).
Таким чином, тут нам зустрічатимуться так звані многозначні функції (тобто такі, що існує хоча б одна точка з області визначення, якій відповідає більше, ніж одна точка з множини значень).
Якщо кожній точці з множини ставиться у відповідність єдина точка з множини , то таку функцію називають однозначною.
Для того, щоб можна було використовувати ідеї з дійсного аналізу для функцій, тут ми при роботі з многозначними функціями виділятимемо їх так звані однозначні вітки (в дійсному аналізі ми ще в школі принаймні 1 раз таке виділення робили, а саме: запис береться зі знаком „+”).
Нехай ми маємо деяку однозначну функцію . Підставивши замість , , а замість і виділивши дійсну і уявну частину, комплексне число можна записати так: , де , - дійсно значні функції двох дійсних змінних.
Таким чином для того, щоб задати комплекснозначну функцію комплексного аргументу достатньо задати пару дійснозначних функцій 2-ох дійсних змінних.
Приклад. , .
Для однозначних функцій в комплексній області введемо поняття границі, неперервності і т. д. (можна сказати, що така функція – це функція, яка діє з простору в ). Нехай маємо однозначну функцію і точку , яка є граничною для області визначення цієї функції.
Означення. Число є границею цієї функції і записується , якщо
, : .
Околи тут беруться на площині.
Це означення можна переписати так: , якщо
, : .
З вище сказаного і з цих означень випливає:
Для того, щоб щоб функції і , як функції двох дійсних змінних мали границі відповідно і , коли точка .
Оскільки означення границі функції ідентичне відповідному означенню з дійсного аналізу, то міркування проведені там можуть бути перенесені сюди і ми матимемо наступні факти:
-
Якщо існує границя функції в точці, то вона єдина;
-
Справедливі теореми про арифметичні операції над границями.
Відмітимо, що напевно теореми з дійсного аналізу, де є порівняння значень функції не переносяться на комплексний аналіз, бо нема порівняння комплексних чисел.
Чи можна стверджувати, що якщо ,то
1) ,
2) ,
3) ?
Спробуйте відповісти на ці питання самостійно.
Зрозуміло, що поняття границі функції комплексної змінної можна ввести з допомогою означення Гейне, з якого як і в дійсному аналізі випливає, що для того, щоб якась функція в точці границі не мала, достатньо вказати хоча б два напрямки прямування до таких, щоб послідовності відповідних значень функції по кожному з цих напрямків мали різні границі. Зауважимо, що шляхів прямування до тут є набагато більше, ніж в дійсному аналізі і значить вимога до функції комплексної змінної, щоб вона мала в якійсь точці границю швидше за все через це є більш жорсткою, ніж аналогічна вимога в дійсному аналізі.
Аналогічно як і в дійсному аналізі можна ввести поняття неперервності функції.
Означення. Якщо точка є граничною для області визначення функції, то кажуть, що функція неперервна в точці , якщо . В протилежному випадку таку точку називають точкою розриву.
З цього означення , використовуючи означення Коші і Гейне границі функції, одержимо означення неперервності функції за Коші і Гейне, де вже не вимагатиметься, щоб точка була граничною.
Ясно, що арифметичні операції над неперервними функціями тут теж можна здійснювати.
Справедливе твердження:
Для неперервності функції в точці необхідно і достатньо, щоб були неперервними функції і в точці .
Очевидно на наш випадок переносяться і деякі теореми з дійсного аналізу про властивості неперервних функцій.
Теорема 1. ( аналог теореми Вейєрштрасса 1)
Якщо функція неперервна на замкненій і обмеженій множині (комплексних чисел), то вона обмежена на ній, тобто
: .
Теорема 2. (аналог теореми Вейєрштрасса 2)
Якщо функція неперервна на замкненій і обмеженій множині комплексних чисел, то її модуль на цій множині досягає найбільшого та найменшого значень.
Ясно, що ці дві теореми легко доводяться із застосуванням відомих результатів з функціонального аналізу (відображення компактів).
Очевидно, що теорема Больцано-Коші напряму на комплексно-значні функції не перенесуться (бо не можна порівнювати комплексні числа, що є значеннями цієї функції). Проте можна надіятися, що ця теорема буде вірною в дещо звуженому вигляді.
Теорема. (аналог Больцано-Коші )
Нехай − деяка неперервна крива в комплексній - площині і ця крива є замкненою множиною. Якщо дійсно-значна функція неперервна на цій кривій і на кінцях цієї кривої приймає різні дійсні значення і , то вона прийматиме в точках цієї кривої всі проміжні значення, які знаходяться між числами і . Тобто на кривій знайдеться точка , що .
Зауважимо, що тут часто буде використовуватись відома з дійсного аналізу
Теорема. (Больцано-Вейєрштрасса)
Із всякої обмеженої послідовності комплексних чисел завжди можна виділити збіжну підпослідовність.
Зрозуміло, що на такі комплексно-значні функції комплексного аргументу можна перенести поняття рівномірної неперервності.
Означення. Функція називається рівномірно неперервною на деякій множині комплексних чисел, якщо
, : : .
З використанням функціонального аналізу переконуємося, що і для комплексно значних функцій комплексного аргументу справедлива
Теорема. (Кантора)
Якщо функція неперервна на замкненій і обмеженій множині комплексних чисел, то вона там і рівномірно неперервна.