МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Тернопільський національний педагогічний університет

імені Володимира Гнатюка

фізико-математичний факультет

кафедра математичного аналізу

кафедра інформатики та методики її викладання

Олійник Світлана Василівна

ДИПЛОМНА РОБОТА

Розробка електронного

курсу „Теорія функцій

комплексної змінної”

Наукові керівники:

доц. Лотоцький В.А.

доц. Маланюк П.М.

Тернопіль−2005

Зміст

Вступ ....................................................................................................................... 4

Розділ 1. Вступні зауваження і факти

§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами ........................... 9

§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел ............................................. 12

§3. Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція ................................................................................ 14

§4. Ряди комплексних чисел ................................................................................. 17

§5. Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості .............................................................................................................. 19

Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції

§1. Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування ..................... 24

§2. Геометричний зміст аргументу і модуля похідної ....................................... 28

§3. Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею 31

П.1 Група дробово-лінійних відображень ...................................................... 34

П.2. Кругова властивість дробово-лінійних відображень ............................. 35

П.3. Нерухомі точки дробово-лінійного відображення ................................. 37

§4. Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області ........ 43

П.1 Логарифмічна функція і її властивості ………………………………… 48

§5. Виділення однозначних віток многозначної функції ................................. 51

§6. Показникова та степенева функції в комплексній області ......................... 56

Розділ 3. Інтеграл в комплексній області

§1. Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості 61

§2. Інтегральна теорема Коші ............................................................................... 64

§3. Інтегральна формула Коші та наслідки з неї ................................................ 72

Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області

§1. Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій .................................................................................................................... 80

§2. Степеневі ряди в комплексній області .......................................................... 85

§3. Ряди Лорана ..................................................................................................... 97

Розділ 5. Лишки та їх застосування

§1. Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація ............................ 101

§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків ...................... 111

§3. Принцип аргументу ........................................................................................ 117

§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої

точки .................................................................................................................. 121

Висновок ................................................................................................................ 124

Список використаної літератури .......................................................................... 126

Вступ

Як відомо класичний математичний аналіз вивчає функції, для яких з допомогою методу граничного переходу вводяться поняття неперервності, диференційовності, інтегровності, встановлюються взаємозв’язки між ними, їх властивості і застосування. Далі всі ці поняття переносяться на функції багатьох змінних і крім властивостей ще й розглядаються їх особливості на цьому класі функцій.

Звичайно, оскільки поряд з дійсними числами існує поле комплексних чисел, то цілком реально вивчати функції область визначення і множина значень яких є деякі множини комплексних чисел. Чи можна для таких функцій ввести поняття границі, послідовності, диференційовності, інтегровності? Якщо можна, то які особливості по відношенню до дійснозначних функцій дійсного аргументу мають комплекснозначні функції комплексного аргументу, які, скажімо, диференційовні чи інтегровні на певній множині?

На всі ці запитання даються відповіді в заключній частині вивчення вищої математики в педагогічних університетах, яка називається теорією функцій комплексної змінної або теорією аналітичних функцій.

Саме цьому великому і важливому напрямку сучасної математики і присвячена наша робота, в якій на базі курсу лекцій, прочитаного одним з керівників цієї роботи приводяться всі передбачені програмою питання теорії аналітичних функцій, а в другій частині − на базі цього матеріалу будується електронний підручник.

Зокрема в першій частині роботи спочатку наводяться основні відомості з алгебри комплексних чисел, збіжність послідовностей і рядів комплексних чисел, вводиться поняття розширеної комплексної площини і приводиться стереографічна проекція, яка дозволяє краще зрозуміти поняття нескінченно віддаленої точки.

Далі розглядаються функції , границя такої функції в точці, неперервність і властивості неперервних функцій на замкнених обмежених областях, причому відповідні теореми доводяться з допомогою відповідних теорем з функціонального аналізу. Потім вивчаються деякі елементарні функції, наприклад, і акцентується увага на многозначності такої функції, що не розглядалось на попередніх етапах вивчення аналізу. Далі з допомогою рядів вводимо тригонометричні та експоненціальну функції і вивчаємо властивості та взаємозв’язки їх між собою, особливо акцентуючи на тих із них, які не мають місця для цих функцій дійсного аргументу.

Потім вводимо поняття диференційовності, встановлюємо критерій існування похідної, а також даємо означення аналітичної в області функції і аналізуємо його. Важливе значення для майбутнього розвитку теорії має геометричний зміст аргументу похідної, з допомогою якого вводиться поняття конформного відображення. Далі детально вивчаються відображення, що здійснюються лінійною та дробово-лінійною функціями, а також експоненціальною і тригонометричними функціями. На прикладі функцій обернених до степеневої () і експоненціальної показуємо як можна виділяти однозначні вітки многозначних функцій і побудова поверхонь Рімана для цих функцій.

В наступній частині роботи вводиться поняття інтеграла, дається спосіб його обчислення і демонструється на конкретних прикладах. Одне із головних місць в цьому розділі і в теорії функцій взагалі є інтегральна теорема Коші, яку ми доводимо в повному об’ємі і показуємо як з її допомогою можна обчислити так звані інтеграли Френеля. Далі вивчається формула Коші, яка дає поштовх для введення інтеграла типу Коші, для якого ми показуємо його безліч разів диференційовність, що в свою чергу дозволяє отримати важливу властивість аналітичної функції: вона безліч разів диференційовна в області аналітичності.

Далі доводимо теорему Вейєрштрасса про ряди аналітичних функцій і наводимо декілька цікавих прикладів, що з ним пов’язані. Важливою є також теорема Коші про розклад аналітичної функції в степеневий ряд, яка разом з різними важливими наслідками також розглядається в нашому підручнику. Безпосереднім узагальненням степеневого ряду є ряд Лорана, для якого ми вивчаємо область збіжності і вирішуємо проблему розкладу функції в ряд Лорана. З допомогою рядів Лорана вивчаються і класифікуються ізольовані особливі точки однозначного характеру, вводиться поняття лишку, доводиться основна теорема про лишки і вказуються її численні застосування.

В процесі всього викладу матеріалу іде порівняння одержаних результатів з відповідними результатами із класичного одномірного аналізу, якщо такі аналоги є, або вказується на їх відсутність.

Оскільки метою даної дипломної роботи є розробка електронного навчального засобу, який би полегшив навчальну роботу викладачів і студентів при вивченнні теорії функцій комплексної змінної, то в другій частині роботи розроблявся електронний підручник на базі матеріалу, описаного вище. Розробка даного електронного підручника проходила за такими етапами:

• перший етап − це накопичення і підготовка даних з математичного аналізу. Значна частина роботи з набирання і виправлення матеріалу виконувалася в текстовому редакторі;

• другий − формування мультимедійного вмісту розробки. Тут враховували те, що часто простий текстовий документ з достатньою кількістю гіперпосилань і невеличких малюнків частіше буває більш корисним і зручним для колективного вивчення дисципліни в комп’ютерній аудиторії, ніж багато ілюстрований мультимедійний документ, дуже вибагливий до апаратних ресурсів ПЕОМ.

• нарешті, найважливіший методологічний і дуже клопіткий третій етап створення підручника − формування його системи гіперпосилань з допомогою такого спеціального програмного засобу як Macromedia Dreamweaver.

Електронний підручник створений з допомогою програми Macromedia Dreamweaver MX і містить обкладинку з назвою підручника („Теорія функцій комплексної змінної”), відомості про авторів підручника та дату створення. На обкладинку поміщений фоновий рисунок. На назві підручника зроблене гіпертекстове посилання. Так, коли ми наведемо курсор миші на назву і клацнемо на ній, то перейдемо на головну сторінку, яка є важливим структурним елементом електронного підручника. Головна сторінка даного електронного підручника містить фон та 6 кнопок, створених з допомогою програми Photo Shop. На кожній кнопці міститься назва частини підручника:

• Програма курсу;

• Лекції;

• Задачі;

• Курсові роботи;

• Модулі;

• Література.

Кнопки „Задачі”, „Курсові роботи”, є поки що неактивними. Активними є кнопки „Програма курсу”, „Лекції”, „Модулі” „Література”. Натиснувши на кнопки з назвами „Програма курсу” та „Література”, то перейдемо на сторінки, які містять програму та список додаткової літератури з курсу „Теорія функцій комплексної змінної”. Якщо ж ми клацнемо на кнопці „Лекції”, то перейдемо на сторінку зі змістом лекційного курсу „Теорія функцій комплексної змінної”.

Сторінка із змістом містить назви п’яти розділів підручника:

• Розділ 1. Вступні зауваження і факти;

• Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції;

• Розділ 3. Інтеграл в комплексній області;

• Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області;

• Розділ 5. Лишки та їх застосування.

Після назви кожного з розділів іде список параграфів цього розділу. На назві кожного параграфу зроблені гіпертекстові посилання. При наведенні курсору миші на назву параграфу колір назви змінюється і коли ми клацнемо на ній, то перейдемо на сторінку, яка містить теоретичний матеріал даного підручника.

Коли ми натиснемо кнопку „Модулі”, то перейдемо на сторінку, яка містить перелік питань і задач до кожного модуля. На питаннях зроблені гіпертекстові посилання. Так, якщо ми натиснемо ліву клавішу мишки, наприклад, на питанні „Геометричний зміст аргументу і модуля похідної. Конформні відображення”, то перейдемо на сторінку з теоретичним матеріалом, який складає відповідь на це питання.

На кожній сторінці підручника міситься не лише текст, а й формули, малюнки, вертикальна смуга прокрутки та кнопки навігації „Назад”, „Головна”, „Зміст”, „Вперед”, розміщені з допомогою фреймування. Фон сторінок з навчальним матеріалом підручника підібраний так, щоб він не заважав користувачеві при роботі з ним.