§5 Виділення однозначних віток многозначної функції

Приклад софізму Бернуллі переконує нас в тому, що оперування многозначними функціями може привести до різноманітних проблем і помилок. Таким чином, нам слід навчитись як із многозначних функцій виділяти однозначні вітки. Все, що ми тут зробимо в загальному обґрунтовуватись не буде, а те, що буде робитися для конформних функцій буде випливати з природи відображень, що здійснюються цими функціями.

Нехай ми маємо функцію , яка задана в області -площини. Часто ця область буде співпадати зі всією розширеною площиною. Припустимо, що область вдалося розбити на області , , ,..., так, що: 1) вони не мають спільних внутрішніх точок, а тільки хіба що спільні межові точки, 2) об’єднання їх дає область , 3) відображення кожну з цих областей взаємо однозначно відображає на відповідно області , , ,..., - площини (часто, зокрема в прикладах, які ми будемо застосовувати нижче всі будуть співпадати між собою). Тоді розглянемо обернену функцію , яка взагалі кажучи в - площині буде многозначною. Якщо ж ми будемо цю функцію розглядати в області і вимагати, щоб її значення попадали в область , то так одержану функцію називають однозначною віткою многозначної функції . Покажемо як все це працює на двох прикладах:

1. Розглянемо функцію .

Ми знаємо про цю функцію, що вона кути розхилом з вершиною в початку координат - площини переводить в кути розхилом з вершиною в початку координат - площини. А значить області , про які тільки що йшлося, будуються так: в - площині проводимо промінь під кутом до дійсної осі, від цього променя будуємо інший під кутом до цього променя і т.д. (рис. 17). Тоді це відображення кожну із областей переведе на всю – площину з розрізом по променю, який виходить з початку координат під кутом до дійсної осі. Причому це відображення буде однолистним в кожній із областей . Області , про які йшлося вище, співпадають зі всією площиною з розрізом по променю, про який ми тільки що говорили. А це означає, що якщо ми розглянемо функцію в області і поставимо вимогу, щоб значення належали області , то ми вже тепер одержимо однозначну функцію, яку ми назвемо однозначною віткою многозначної функції . Її ми позначатимемо

.

Таким чином, ми бачимо, що можна виділити для функції однозначних віток.

Якщо ми зафіксуємо значення в якійсь однозначній вітці і будемо робити повний обхід точкою навколо початку координат, то після однократного обходу аргумент цього числа збільшиться на , а отже, ми із значення в цій вітці перейдемо до відповідного значення наступної вітки. Коли ми зробимо таких обходів навколо точки 0, то ми знову повернемося до значення, з якого починали. Точка, яка має таку властивість, називається алгебраїчною точкою розгалуження -го порядку функції . Оскільки обхід навколо точки 0 є одночасно і обходом навколо нескінченно віддаленої точки, то ці точки є алгебраїчні точки розгалуження функції -го порядку.

Підсумовуючи сказане вище про функцію , можна зауважити, що

область в - площині, в якій можна виділяти однозначні вітки функції , повинна бути такою, щоб ми не могли в цій області зробити повний оберт навколо початку координат, а це можна робити тоді, коли область буде мати межу, що з’єднує обидві точки розгалуження: це може бути довільний промінь, який виходить з початку координат або якась гладка крива, яка з’єднує точки 0 і .

Всі сказані вище ідеї можуть бути перенесені на дещо більш загальні функції і . Можна показати, що перша з них має точки розгалуження та і отже область, в якій можна виділяти однозначні вітки цієї функції, буде в - площині з розрізом по променю, який виходить з точки . Друга з цих функцій буде мати точки розгалуження і і отже, область - площини, де можна виділяти однозначні вітки цієї функції, буде вся - площина з розрізом по напрямленому відрізку, що з’єднує точки і .

Вище ми працювали з окремими вітками многозначної функції . Але, взагалі кажучи, кожна окрема вітка многозначної функції не дає повного уявлення про всю многозначну функцію. Для того, щоб таке уявлення утворилося і для того, щоб підвести многозначну функцію під однозначну функцію використовують так звані поверхні Рімана. Вони будують зокрема під кожну многозначну функцію, як буде видно після побудови цієї поверхні для функції . Многозначна функція взаємо однозначно відображає свою поверхню Рімана на розширену - площину.

Побудуємо поверхню Рімана для функції . Як ми знаємо ця функція є оберненою до функції . Області однолистності функції в - площині побудуємо наступним чином: 1-й промінь направимо по додатному напрямку дійсної осі, а всі інші під кутом до попереднього (див. рис. 18а).

Візьмемо () -площин: (), (),…, (), які для наочності вважатимемо аркушами паперу необмежених розмірів, і всі ці площини розріжемо по додатній частині дійсної осі, включаючи і точку (на рис. 19 зображено три такі площини). Цей розріз поділить кожну півплощину на дві частини: нижню () і верхню () (). Тепер склеїмо всі півплощини уздовж додатної частини дійсної осі (включаючи і точку ) так: нижню першої півплощини – з верхньою частиною другої півплощини, нижню другої півплощини – з верхньою частиною третьої півплощини і т. д., нижню частину ()- ї півплощини – з верхньою частиною -ї півплощини і, нарешті, нижню частину -ї півплощини – з верхньою частиною першої півплощини. Зауважимо, що коли перші склеювань можна фактично здійснити, то останнє , -не, склеювання фактично здійснити не можна, оскільки між верхньою частиною першої півплощини і нижньою частиною -ї півплощини міститиметься лист. Останнє склеювання треба розуміти лише так, що в уяві ототожнюємо точки додатної частини дійсної осі верхньої частини першої півплощини і відповідні точки додатної частини дійсної осі нижньої частини -ї півплощини. В результаті такого склеювання дістанемо замкнену - листу поверхню, яку називають рімановою поверхнею функції .

Рис. 19

Між точками - площини і точками поверхні Рімана функції за допомогою рівності здійснюється взаємно однозначна і неперервна відповідність. Якщо точка , переходячи з області в область , з в і т. д., опише замкнений контур навколо початку координат, то точка , переходячи з одного листа ріманової поверхні функції на інший і побувавши, таким чином, на всіх листах цієї ріманової поверхні, опише також замкнений контур. Довільну точку ріманової поверхні ми можемо сполучити неперервною кривою з довільною іншою точкою цієї поверхні. Якщо ці дві точки мають один і той же афікс, то вони на рімановій поверхні лежать одна над одною. Якщо на рімановій поверхні виділити яку-небудь область , що не містить частин. Які взаємно накладаються, то для кожного матимемо єдине значення . Множина всіх значень для у - площині утворює деяку область . Функція відображує область на область взаємно однозначно і неперервно, і, отже, можна говорити про певну вітку функції .

Побудуємо тепер ріманову поверхню функції , оберненої до функції . Вище було з’ясовано, що функція відображає взаємно однозначно і неперервно кожну область площини (), обмежену прямими і (), на область , яка складається з усіх точок -площини, які не належать від’ємній частині дійсної осі (включаючи і точку ). Візьмемо зчисленну множину екземплярів - площин, розмістивши їх у такому порядку:

.

Як і вище, ці площини вважатимемо паперовими аркушами необмежених розмірів. Розріжемо їх по від’ємній частині дійсної осі (включаючи і точку ). Тоді кожна півплощина буде поділеною на дві частини: нижню () і верхню (). Склеїмо всі ці півплощини уздовж від’ємної частини дійсної осі так: нижню частину півплощини − з верхньою частиною півплощини , верхню частину півплощини − з нижньою частиною півплощини , нижню частину півплощини − з верхньою частиною півплощини , верхню частину півплощини − з нижньою частиною півплощини і т. д. У результаті такого склеювання дістанемо нескінченно листу поверхню, яка називається рімановою поверхнею функції . Між точками - площини і точками ріманової поверхні функції за допомогою рівності здійснюється взаємно однозначна і неперервна відповідність.