- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості ………………………………… 48
- •Розділ 1. Вступні зауваження і факти
- •§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
- •§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел
- •§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція
- •§4 Ряди комплексних чисел
- •§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
- •Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції
- •§1 Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування
- •Доведення
- •§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
- •§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею
- •§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості
- •§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
- •§6 Показникова та степенева функції в комплексній області
- •Розділ 3. Інтеграл в комплексній області
- •§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості
- •§2 Інтегральна теорема Коші
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Інтегральна формула Коші та наслідки з неї
- •Доведення
- •Доведення
- •Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області
- •§1 Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій
- •Доведення
- •§2 Степеневі ряди в комплексній області
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Ряди Лорана
- •Доведення
- •Розділ 5. Лишки та їх застосування
- •§1 Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків
- •§3 Принцип аргументу
- •Доведення
- •§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої точки
- •Висновок
- •Список використаної літератури:
Розділ 1. Вступні зауваження і факти
§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
Нагадаємо далі деякі відомості про комплексні числа. Число виду , де , та називається комплексним числом. Таку форму запису комплексного числа називають алгебраїчною.
− дійсна частина;
− коефіцієнт при уявній частині.
Очевидно, що між множиною комплексних чисел і точками простору є взаємно однозначна відповідність.
.
Множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел. Кажуть, що множина є розширенням множини . Число називають уявною одиницею.
На множині операції додавання і множення визначаються наступним чином
,
.
Операції віднімання і ділення одержуємо за алгебраїчним принципом, якщо врахувати, що нульовим елементом тут є число , одиничним − , протилежним до числа є число , симетричним (оберненим) (якщо ) до цього числа є число :
,
.
Геометричну інтерпретацію додавання і віднімання комплексних чисел див. на рис. 1.
Неважко переконатися, що відносно операцій додавання і множення комплексні числа утворюють поле.
Поряд з комплексним числом розглядають спряжене комплексне число . Звідси маємо, що справедливі рівності
, , .
причому
,
Комплексні числа можна записувати не тільки в алгебраїчній формі, а й в так званій тригонометричній формі. Візьмемо комплексне число , яке зображене на рис. 2. Довжина вектора називається модулем числа (позначається ), а кут φ, який утворює вектор з додатним напрямом осі , називається аргументом комплексного числа і позначається . З рисунка видно, що
.
Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною. Очевидно, що справедливі наступні рівності
, .
Оскільки аргумент будь-якого комплексного числа (за винятком 0, для якого аргумент невизначений), набирає безліч значень, то домовимось те значення аргументу , яке попадає на називати головним значенням аргументу і позначати . Тоді зрозуміло, що кожне відмінне від 0 комплексне число має свій єдиний модуль і своє єдине головне значення аргументу.
Подивимося як перемножити два комплексні числа, записані в тригонометричній формі. Нехай маємо числа і . Тоді добуток двох комплексних чисел і буде записуватися за формулою
,
яку можна отримати, записавши добуток комплексних чисел в алгебраїчній формі. Геометричний зміст добутку комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі, видно з рис. 3.
Легко здогадатися, що
.
З правила множення комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі, одержуємо формулу піднесення комплексного числа до натурального степеня:
.
Вище записана формулу називають формулою Муавра.
З'ясуємо тепер як добувати корінь n-го степеня з комплексного числа. Нехай маємо комплексне число . Тоді | . Нехай , де і − невідомі. Для знаходження і скористаємось тим, що і формулою Муавра. Одержимо:
.
З останньої рівності маємо:
і , і , .
Отже, , .
Різні значення в дужках одержимо лише при k=0, 1, 2,..., n-1. Якщо k надаватимемо інших значень, то в дужках одержимо одне із раніше отриманих чисел. Таким чином остання формула дає значення кореня n-го степеня з комплексного числа і попередній аналіз показує, що цей корінь n-значний (якщо ). Якщо ми зобразимо всі значення кореня n-го степеня з комплексного числа на комплексній площині, то вони лежатимуть у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло радіуса .
Зауважимо, що із раніше сказаного маємо
, , , .
Можна довести, що тут теж мають місце нерівності, відомі нам з дійсного аналізу
, .