- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості ………………………………… 48
- •Розділ 1. Вступні зауваження і факти
- •§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
- •§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел
- •§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція
- •§4 Ряди комплексних чисел
- •§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
- •Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції
- •§1 Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування
- •Доведення
- •§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
- •§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею
- •§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості
- •§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
- •§6 Показникова та степенева функції в комплексній області
- •Розділ 3. Інтеграл в комплексній області
- •§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості
- •§2 Інтегральна теорема Коші
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Інтегральна формула Коші та наслідки з неї
- •Доведення
- •Доведення
- •Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області
- •§1 Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій
- •Доведення
- •§2 Степеневі ряди в комплексній області
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Ряди Лорана
- •Доведення
- •Розділ 5. Лишки та їх застосування
- •§1 Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків
- •§3 Принцип аргументу
- •Доведення
- •§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої точки
- •Висновок
- •Список використаної літератури:
§3 Інтегральна формула Коші та наслідки з неї
Теорема 1. (Інтегральна формула Коші)
Нехай аналітична в деякій області функція і проста замкнена спрямлювана крива, яка повністю належить області разом з областю, яку вона обмежує. Тоді для , що належить внутрішності кривої , справедлива рівність,
. (1)
Зауважимо, що інтеграл справа в (1) називається інтегралом Коші. Відмітною рисою такого інтеграла є:
-
він береться по замкненій кривій,
-
функція аналітична в області, яка містить цю криву разом з її внутрішністю,
-
підінтегральна функція має такий вигляд: .
Доведення
Оскільки точка належить внутрішності кривої , то існує , який повністю належить цій внутрішності разом з колом – межею цього околу. Нехай коло : . Розглянемо далі функцію в області, яка є внутрішністю кривої і зовнішністю кривої одночасно (див. рис. 26). Очевидно, що функція в цій області є аналітичною. Тоді за інтегральною теоремою Коші для системи контурів, умови якої тут повністю виконуються, будемо мати, що
.
Очевидно на тут накладається лише одна умова: щоб коло належало внутрішності кривої . А отже , остання рівність справедлива при всіх достатньо малих і значить для доведення формули (1) достатньо показати рівність,
. (2)
В зв’язку з тим, що нам треба довести (2), розглянемо величину,
. (3)
Оскільки функція є аналітичною в області, то вона неперервна в області, зокрема в нашій точці . А значить для , : : . Звідси і з (3) будемо мати для ,
.
А отже, ми одержали рівність (2), з якої і випливає формула (1). Теорема доведена.
Зауважимо, що якщо в попередній теоремі точка лежить у зовнішності кривої , то інтеграл справа як випливає з інтегральної теореми Коші буде дорівнювати 0 ( бо підінтегральна функція в області дещо ширшій, ніж внутрішність кривої , є аналітичною ).
Попрацюємо зараз з доведеною рівністю (1). В якості кривої в цій формулі ми можемо взяти коло з центром в точці і радіусом (не дуже великим). Рівнянням кола буде, . Тоді рівність (1) запишемо так,
.
Одержана рівність означає:
Значення аналітичної в області функції в точці цієї області дорівнює середньому арифметичному тих значень, які вона приймає в точках кола з центром в точці , яке повністю разом зі своєю внутрішністю належить області .
Оскільки функція є аналітичною на колі , то вона і неперервна на цьому колі і оскільки остання множина є компактом в , то функція досягає на цьому колі свого найбільшого значення. Позначимо . Тоді, якщо , то будемо мати з (1),
, .
З цієї нерівності випливає такий наслідок:
Наслідок 1. Модуль аналітичної в області функції не може досягти строгого максимуму ні в одній внутрішній точці цієї області.
Як ми говорили інтеграл справа в (1), який задовольняє відміченим вище вимогам, називається інтегралом Коші. Дещо зменшимо вимоги на такий інтеграл:
-
крива не обов’язково замкнена,
-
функцію задаватимемо тільки на і вимагатимемо її неперервності в точках цієї кривої. Звісно такий інтеграл вже не буде інтегралом Коші і рівності (1) теж не буде, але такий інтеграл ми зараз розглядатимемо і називатимемо його інтегралом типу Коші. Звісно, якщо ми для такого одержимо якусь інформацію, то вона тим більше буде вірною для інтеграла Коші.
Оскільки інтеграл визначений в кожній точці комплексної площини, за винятком точок кривої , і при кожному такому цей інтеграл дорівнює якомусь числу, то цей інтеграл задає на всій комплексній площині, за винятком кривої , деяку однозначну функцію . Покажемо, що утворена функція в кожній точці, вказаної вище, області має похідну довільного порядку, причому справедлива рівність:
, (4)
Доведемо рівність (4) методом математичної індукції. Ясно, що (4) вірна при . Припустимо, що рівність (4) справедлива при , і покажемо, що вона справедлива при . Тобто покажемо, що справедлива рівність
.
Нехай − точка, яка не належить кривій . Позначимо через − круг з центром в точці і радіусом , який з ніяких спільних точок не має, − коло цього круга, точка − довільна точка з круга , − відстань між кривими і , − круг, який містить і криву і криву ( див. рис. 27). Розглянемо різницю
Покладемо в останній рівності , , . Будемо мати,
Отже, ми одержали, що
.
Нам треба показати, що величина при прямує до числа
. (5)
Тому розглянемо різницю,
(6)
Позначимо
і оцінимо .
Отже, маємо . Звідси і з (6) будемо мати
,
де − довжина кривої . Оскільки величина − це константа, то права частина останньої нерівності при теж прямує до 0. А отже, прямує до .
З іншого боку . Таким чином маємо,
,
а значить рівність (5) і отже, формула (3) одержані.
Тут в доведенні на кривій , який існуватиме, бо − неперервна на , а − замкнена і обмежена в .
Як ми вже відмічали вище, формула аналогічна до (3) буде справедливою і для інтеграла Коші. Але з того, що для інтеграла Коші (див. (1)) , то інтегральна формула Коші і тільки що одержана формула (3) дозволяють стверджувати наступне.
Наслідок 2. Якщо функція аналітична в області , то в кожній точці цієї області вона має похідні довільного порядку і справедлива рівність
, (6)
де і − те ж що в інтегральній формулі Коші.
Наслідок 3. Похідна кожної аналітичної в області функції сама є аналітичною в цій же області функцією.
Наступне твердження, яке ми одержимо із наслідку 2, є оберненим до інтегральної теореми Коші.
Теорема (Морера)
Нехай однозначна неперервна в однозв’язній області функція. Якщо , де − довільний трикутний контур, який належить області , то − аналітична в області функція.