Доведення

Розглянемо нерівності (5) для . Спочатку ми цю функцію розкладемо в степеневий ряд, який буде мати радіус збіжності і − коефіцієнти цього розкладу. Тоді з (5) будемо мати:

, . (*)

З того, що функція обмежена на всій комплексній площині випливає, що

, (**)

де − якесь число. З нерівностей (*) і (**) будемо мати:

, .

Перейшовши в останній нерівності до границі при , одержимо, що . Так само зробимо і з , і т. д. Отже, в нашому розкладі всі коефіцієнти, крім будуть рівні 0 і тому , . Теорема доведена.

Звернемося знову до теореми Коші. Про радіус збіжності степеневого ряду з цієї теореми можна сказати, що він неменший , тоді . Звідси - .

Ми одержали результат, який ми раніше отримували з інших міркувань.

Тепер знову повернемося до проблеми єдності розкладу функції в степеневий ряд. Вище ми довели, що якщо значення двох функцій співпадають в точках деякого околу точки , то вони будуть співпадати на деякій ширшій множині значень. Із всього сказаного вище також випливає, що аналітичну в області функцію можна розкласти околі лише в один степеневий ряд по степенях . Звідси випливає, що аналітична в області функція однозначно задається своїми значеннями, які вона приймає на якійсь частині області аналітичності. Наступна теорема вирішує поставлену щойно проблему.

Теорема 4. (Внутрішня теорема єдиності)

Нехай і − функції аналітичні в області . Якщо значення цих функцій співпадають в точках деякої множини , яка має граничну точку , то на всій області .

Доведення

Візьмемо і покажемо, що . Сполучимо точки і ламаною, всі ланки якої належать області , і нехай − відстань між цією ламаною і межею області . З того, що межа і ламана замкнені множини і ламана до того ж є обмеженою множиною випливає, що . Візьмемо на ламаній точки , , ,…, , так, щоб відстань між ними була меша за . В кожній із точок , , ,…, , як з центра проведемо коло радіуса . Окіл точки буде містити точку , в окіл точки попаде точка і т. д. (див. рис. 29)

Розглянемо круг . В цьому крузі функції і аналітичні, бо цей круг повністю належить області . Звідси за теоремою Коші будемо мати, що функції і розкладаються в цьому крузі в ряд по степенях . Оскільки точка є граничною для множини , то в цей круг входить деяка її підмножина, для якої центр розкладу, точка , є граничною точкою. Значить за однією з попередніх теорем суми цих рядів, тобто і будуть співпадати в цьому крузі. Отже, функції і співпадають в спільній частині кругів і , яка містить центр другого круга – точку . Оскільки функції і аналітичні в цьому крузі, то вони розкладаються тут в ряд по степенях і знову за теоремою 1 для всіх точок круга . А значить ця рівність виконується для всіх точок множини , що є спільною частиною для цього круга і круга . Множина містить центр круга і тут знову можна використати ці ідеї. Одержимо, що рівність буде справедливою в крузі . Продовжуючи цей процес і т. д. ми після скінченної кількості кроків вийдемо на останній круг з центром в точці , в кожній точці якого функції і співпадатимуть, а значить вони співпадатимуть і в точці . Отже, . Теорема доведена.

З цієї теореми випливає, що аналітична в області функція задається своїми значеннями на якій-небудь підмножині цієї області, що має граничну точку, що належить цій області. Наприклад достатньо задати цю функцію на якійсь дузі достатньо малої довжини.

Повернемося зараз до результату, який ми вже згадували вище – принцип максимуму модуля в його останній редакції.

Теорема. (Принцип максимуму модуля)

Нехай функція () аналітична в області . Тоді її модуль не може досягати свого максимуму в жодній точці цієї області. Тобто не існує такої точки : .