Доведення

Можна говорити про функцію в точках кривої , бо знаменник в точках цієї кривої в 0 не перетворюються. Тоді розглянемо функцію

. (*)

Очевидно, що для . А якщо так, то коли точка пробіжить один раз криву , то точка оббіжить якусь криву, яка буде лежати всередині круга з центром в точці 1 і радіусом, що дорівнює 1,а значить зміни аргументу функції , коли точка пробіжить один раз криву , не буде. Тоді з рівності (*) будемо мати, що

,

тобто зміна дорівнює зміні , коли точка пробіжить один раз криву в додатному напрямку. А раз так, то скільки нулів має функція , то стільки ж нулів має і функція . Теорема доведена.

§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої точки

Означення. Функція називається цілою, якщо вона аналітична на всій комплексній площині, тобто інакше кажучи її на всій комплексній площині можна зобразити степеневим рядом

, . (1)

Очевидно остання рівність означає розклад функції в ряд в околі нескінченно віддаленої точки. Нескінченно віддалена точка, як і будь-яка інша особлива точка, може бути або правильною, або полюсом, або істотно особливою. Праву частину рівності (1) ми можемо вважати лоранівським розкладом функції в околі нескінченно віддаленої точки, в якому присутня лише головна частина.

Якщо нескінченно віддалена точка є усувною особливою точкою цілої функції , то в розкладі (1) головної частини бути не повинно. Значить . Отже, ціла функція, для якої нескінченно віддалена точка є правильною, це константа.

Якщо для цілої функції нескінченно віддалена точка є полюсом кратності , то в головній частині (1) всі коефіцієнти, починаючи з -го, повинні бути рівні 0, а . Отже, ми одержали, що ціла функція, для якої нескінченно віддалена точка є полюсом кратності , є многочленом -го степеня.

Якщо нескінченно віддалена точка є істотно особливою точкою цілої функції , то в головній частині (1) має бути безліч відмінних від 0 коефіцієнтів (). Таку функцію називають цілою трансцендентною - це ціла функція, для якої нескінченно віддалена точка є істотно особливою точкою.

Тепер про лишки відносно нескінченно віддаленої точки. Нехай функція, яка має в розширеній комплексній - площині скінченну кількість особливих точок (включаючи і нескінченно віддалену точку). Тоді таке, що в області функція аналітична за винятком хіба що нескінченно віддаленої точки. Тобто всі скінченні особливі точки лежать в крузі і отже, в області цю функцію можна розкласти в ряд Лорана

,

який буде збіжний в цій області.

Про інтегруємо останню рівність по колу , . Будемо мати

. (1)

(Коло проходиться так, що область, яка прилягає до нескінченно віддаленої точки, залишається зліва. По відношенню до початку координат цей напрям буде від’ємним .) Число ми називатимемо лишком функції відносно нескінченно віддаленої особливої точки („-”, бо крива проходиться у від’ємному напрямку).

, (2)

де − особливі точки функції . Додавши рівності (1) і (2) і врахувавши, що зліва стоїть сума інтегралів від одної й тої ж самої функції, тільки в різних напрямках, одержимо, що

сума лишків по всіх особливих точках, включаючи і нескінченно віддалену, яка аналітична на всій комплексній площині, за винятком ізольованих особливих точок, дорівнює 0.