- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості ………………………………… 48
- •Розділ 1. Вступні зауваження і факти
- •§1. Комплексні числа. Операції над комплексними числами
- •§2. Збіжність послідовностей комплексних чисел
- •§3 Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Стереографічна проекція
- •§4 Ряди комплексних чисел
- •§5 Комплекснозначні функції комплексного аргументу та деякі їх властивості
- •Розділ 2. Похідна функції комплексного аргументу. Аналітичні функції
- •§1 Похідна функції комплексної змінної. Критерій її існування
- •Доведення
- •§2 Геометричний зміст аргументу і модуля похідної
- •§3 Дробово-лінійна функція. Властивості і відображення здійснювані нею
- •§4 Експоненціальна і тригонометрична функції в комплексній області
- •П.1 Логарифмічна функція і її властивості
- •§5 Виділення однозначних віток многозначної функції
- •§6 Показникова та степенева функції в комплексній області
- •Розділ 3. Інтеграл в комплексній області
- •§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості
- •§2 Інтегральна теорема Коші
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Інтегральна формула Коші та наслідки з неї
- •Доведення
- •Доведення
- •Розділ 4. Функціональні ряди в комплексній області
- •§1 Збіжність та рівномірна збіжність функціональних рядів в комплексній області. Теорема Вейєрштрасса про рівномірно збіжні ряди аналітичних функцій
- •Доведення
- •§2 Степеневі ряди в комплексній області
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§3 Ряди Лорана
- •Доведення
- •Розділ 5. Лишки та їх застосування
- •§1 Особливі точки аналітичної функції та їх класифікація
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •Доведення
- •§2. Теорема про лишки та її застосування. Обчислення лишків
- •§3 Принцип аргументу
- •Доведення
- •§4 Поняття про цілу функцію та лишки відносно нескінченно віддаленої точки
- •Висновок
- •Список використаної літератури:
Розділ 3. Інтеграл в комплексній області
§1 Означення інтеграла від функції комплексної змінної та його властивості
Нехай − деяка спрямлювана крива в - площині і − деяка комплексно-значна функція комплексного аргументу. Крім цього нехай дана функція визначена на кривій . Спробуємо перенести на ці два об’єкти конструкцію, яка привела нас до криволінійного інтеграла 2-го роду. З цією метою візьмемо - розбиття кривої точками , , ,...,. На кожній з елементарних дуг візьмемо по точці і утворимо суму
,
яка називається інтегральною сумою для функції для кривої .
Означення. Якщо при прямуванні до 0 кроку розбиття кривої існуватиме границя цієї суми, яка не залежатиме ні від способу розбиття цієї кривої , ні від способу вибору точок на елементарних дугах, то її ми називатимемо інтегралом від функції комплексної змінної по кривій і позначатимемо .
Наявність вище одержаної рівності дозволяє нам стверджувати, що існування такого інтеграла зв’язане з існуванням 2-х наступних криволінійних інтегралів
і .
Як ми знаємо з теорії криволінійних інтегралів, останні два існують, якщо крива кусково-гладка, а функції і є неперервними на цій кривій. Оскільки неперервність функцій і рівносильна неперервності функції , то можна стверджувати:
Якщо функція неперервна на гладкій кривій ( , і − неперервні разом із своїми похідними на ), то існуватиме
Остання формула вирішує в багатьох випадках проблему обчислення інтеграла від функції комплексної змінної.
Розглянемо деякі властивості введеного вище інтеграла.
-
З’ясуємо чи тут має значення напрям проходження кривої . Простий аналіз означення інтеграла показує, що
.
Тобто при зміні напрямку інтегрування по кривій знак інтеграла змінюється на протилежний.
-
Якщо криву точками розбити на скінченну кількість кривих -х без внутрішніх спільних точок, то
.
3) .
4) Ця властивість дає можливість робити оцінки інтеграла від функції комплексної змінної:
, де − диференціал дуги.
Зауважимо, що справа стоїть криволінійний інтеграл 1-го роду. Доведення цієї нерівності одержується з самого означення інтеграла в комплексній області.
Часто ми будемо користуватися наслідком цієї нерівності:
) Якщо функція є обмеженою на кривій , тобто : , то , де − довжина кривої .
Що стосується відомої із дійсного аналізу теореми про середнє, то відповідь на те чи буде вона мати місце, буде дана дещо пізніше.
Зауважимо, що ми тут часто матимемо справу з інтегралом по замкненій кривій. Домовимося, що якщо не сказано в якому напрямку проходиться ця крива, то будемо брати той напрям, щоб область, яка обмежена цією кривою, залишалася зліва від спостерігача, що проходить криву.
Обчислимо декілька інтегралів від функції комплексної змінної:
1) .
Зауважимо, що величина цього інтеграла зовсім не залежить від кривої , а залежить від точок і , зокрема, якщо крива замкнена, то цей інтеграл дорівнює 0.
2)
.
Останню рівність одержимо, взявши - розбиття і в якості точок візьмемо праві (ліві) кінці дуг розбиття. З останньої рівності видно, що величина інтеграла не залежить від форми кривої, а залежить від початкової і кінцевої її точок. Якщо крива замкнена, то цей інтеграл теж рівний 0.
3)
,
нехай − коло з центром в точці і радіусом , тоді .